【CF Contest-1228 E】Another Filling the Grid【容斥】

题意：

给定一个 n∗nn*nn∗n 的格子，每个格子填写 [1,k][1,k][1,k] 的一个数，保证每行每列至少有一个 111，输出有多少种填写方案。(1≤n≤250,1≤k≤109)(1\leq n\leq 250,1\leq k\leq 10^9)(1≤n≤250,1≤k≤109)

思路：

这个题可以用 dpdpdp 思考，f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示前 iii 行每行至少有一个 111 且只有 jjj 列有 111 的方案数。

大家可以根据这个 dpdpdp 方程继续列方程，我们本篇的重点是容斥方法。

如果用容斥考虑这个问题，那么最大的难点就是此题需要同时保证每行每列至少有一个 111，涉及了行、列两个维度，而常规的容斥问题只有 111 个维度。因此如何多添加进一个维度呢？

通常多加一个维度的方法是先只考虑一个维度，然后再在这一个维度上继续进行容斥。因此我们令 f[i]f[i]f[i] 表示 iii 行每列至少有一个 111 的方案数，不难发现 f[i]=(ki−(k−1)i)nf[i]=(k^i-(k-1)^i)^nf[i]=(ki−(k−1)i)n。

然后我们再在该基础上进行容斥，因此答案 === nnn 行每列至少一个 111 的方案数 −-− 至少 111 行无 111 的方案数 +++ 至少两行无 111 的方案数 +...+...+...，即 ans=f[n]−Cn1∗f[n−1]∗(k−1)n+Cn2∗f[n−2]∗(k−1)2n+...ans=f[n]-C_n^1*f[n-1]*(k-1)^n+C_n^2*f[n-2]*(k-1)^{2n}+...ans=f[n]−Cn1∗f[n−1]∗(k−1)n+Cn2∗f[n−2]∗(k−1)2n+...，即
ans=∑i=0n(−1)i∗f[n−i]∗Cni∗(k−1)i∗nans = \sum\limits_{i=0}^n(-1)^i*f[n-i]*C_n^i*(k-1)^{i*n} ans=i=0∑n(−1)i∗f[n−i]∗Cni∗(k−1)i∗n

总结：

此题主要套路在于对于两个维度下的组合问题，使用先固定一维，再在另一维上容斥达到升维的目的。

主要难点在于状态的设置，iii 行每列都有 111 的方案数，然后再根据行有无 111 来进行容斥，即先保证列满足条件，然后对行进行容斥。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 250+10;
const ll mod = 1e9+7;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}ll f[N],C[N][N];
int n,k;void init(){C[1][0] = C[1][1] = 1;for (int i = 2; i < N; i++){C[i][0] = 1;for (int j = 1; j < N; j++)C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1])%mod;}
}ll pow_mod(ll a,ll b){ll ans = 1, base = a;while(b){if(b&1) ans = (ans*base)%mod;base = (base*base)%mod;b >>= 1;}return ans;
}int main()
{init();scanf("%d%d",&n,&k);rep(i,0,n) f[i] = pow_mod((pow_mod(k,i)-pow_mod(k-1,i))%mod,n);ll total = 0;rep(i,0,n){if(i%2 == 0) total = (total+f[n-i]*C[n][i]%mod*pow_mod(k-1,i*n)%mod)%mod;else total = (total+mod-f[n-i]*C[n][i]%mod*pow_mod(k-1,i*n)%mod)%mod;}printf("%lld\n",total);return 0;
}

【CF Contest-1228 E】Another Filling the Grid【容斥】相关推荐

[杂题训练]CF1228E Another Filling the Grid（容斥），CF936C Lock Puzzle（构造）
文章目录 T1:CF1228E Another Filling the Grid solution code T2:CF936C Lock Puzzle solution code T1:CF1228 ...
Comet OJ - Contest #8 E神奇函数（莫比乌斯函数容斥）
Comet OJ - Contest #8 E神奇函数(莫比乌斯函数容斥) 题目大意定义d(x)d(x)d(x)的值为x的最小素因子,定义 f(x)={1x=1d(x)f(xd2(x))x>1 ...
CodeForces - 1228B Filling the Grid(思维，水题)
题目链接:点击查看题目大意:给出一个n*m的矩阵,每个格子可以涂成黑色或白色,再给出n个数a[i]以及m个数b[i],a[i]表示第i行前a[i]个格子都是黑色的,第a[i]+1个数是白色的,其余的 ...
CF contest/389
A. Fox and Number Game 题意:n个数,She can do the following operation as many times as needed: select two ...
CF contest/382/B. Number Busters
题解: 设t 分钟后: c'=c-t; a'=a- (x*t-b)/w; c'<=a'; 整理出来 t>= (a*w-cw+b)/(x-w); 注 ...
CF(439E - Devu and Birthday Celebration)莫比乌斯容斥
题意:将n个糖果插入f-1个挡板分成f分(a1,a2,a3...af). 问有多少种分法能够使得gcd(a1,a2,a3...af)=1; 解法.莫比乌斯容斥,首先按1为单位分,这时候有C(n-1,f ...
HDU 4059 The Boss on Mars （容斥）（2011 Asia Dalian Regional Contest）
The Boss on Mars 思路显然我们可以求得∑i=1ni4=6n5+15n4+10n3−n30\sum_{i = 1} ^{n} i ^ 4 = \frac{6n^5 + 15n^4 + ...
【容斥】2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest
比赛连接 G. Snake Rana Old Macdonald wants to build a new hen house for his hens. He buys a new rectangu ...
[总结]2019年9月 OI学习/刷题记录
从现在开始记录一下每天的学习情况.主力LOJ? 2019/9/5 LibreOJ #2543. 「JXOI2018」排序问题答案显然是\(\frac{(n+m)!}{Cnt_1!Cnt_2!\cdo ...
SDUT 2021 Spring Individual Contest(for 20) - 1
文章目录 A - Sherlock Bones B - Unusual Team C - Cheap Kangaroo D - Magical Bamboos E - Competitive Seag ...

【CF Contest-1228 E】Another Filling the Grid【容斥】

题意：

思路：

总结：

代码：

【CF Contest-1228 E】Another Filling the Grid【容斥】相关推荐

最新文章

热门文章