后继

对于任意集合 a,a, 称 a∪{a} a \cup \{ a \} 为 aa 的后继，记作 a+:a^+:
a+=a∪{a}a^+ = a \cup \{a\}
易知 a∈a+,a⊆a+,a \in a ^+, a \subseteq a ^+,
定义 0=∅,1=0+,2=1+,...0 = \emptyset , 1 = 0^+, 2 = 1^+, ...

定理 1

00 不是任何集合的后继，即 ∀a(a+≠0)\forall a ( a^+ \ne 0 )

证明：

a∈a+a \in a ^+

归纳集

对于集合 AA ，当且仅当：
1. 0∈A0 \in A
2. ∀a(a∈A⇒a+∈A)\forall a (a \in A \Rightarrow a ^+ \in A)
时， AA 是一个归纳集 (inductive set)。

无穷公理

至少存在一个归纳集。

引理 1

存在唯一的集合 N\mathbb N 使得 ∀n(n \forall n (n 属于所有的归纳集 ⇔n∈N)\Leftrightarrow n \in \mathbb N )

证明：

由无穷公理，任取一个归纳集 A,A,
则存在唯一的集合 N={n∈A∣n\mathbb N = \{ n \in A \mid n 属于所有的归纳集 }={n∣n\} = \{ n \mid n 属于所有的归纳集 }\}

自然数集

定义 N\mathbb N 为自然数集，它的元素为自然数。

定理 2

N\mathbb N 是归纳集。

证明：

∀ \forall 归纳集 A(0∈A), A (0 \in A), 因此 0∈N0 \in \mathbb N
∀a(a∈N⇒a \forall a (a \in \mathbb N \Rightarrow a 属于所有的归纳集 ⇒a+ \Rightarrow a ^+ 属于所有的归纳集 ⇒a+∈N) \Rightarrow a ^+ \in \mathbb N )

定理 3 归纳原理

∀\forall 集合 A⊆N, A \subseteq \mathbb N, 若 AA 满足：
1. ∅∈A\emptyset \in A
2. ∀a(a∈A⇒a+∈A)\forall a (a \in A \Rightarrow a ^+ \in A)
则 A=NA = \mathbb N
证明：
由已知 A⊆NA \subseteq \mathbb N，又由条件 1，2， AA 是归纳集，因此 N⊆A\mathbb N \subseteq A，因此 A=NA = \mathbb N

定理 4

∀n∈N+,(∃m∈N(m+=n)),\forall n \in \mathbb N ^+, \left ( \exists m \in \mathbb N ( m^+ = n ) \right ), 其中 N+={n∈N:n≠0}\mathbb N^+ = \{ n \in \mathbb N: n \neq 0 \}
证明：
令 M={0}∪{n∈N∣∃m∈N,m+=n},M = \{ 0 \} \cup \{ n \in \mathbb N \mid \exists m \in \mathbb N, m^+ = n \}, 由归纳原理可得 M=NM = \mathbb N

传递集定义：

集合 AA 是传递集 ⇔∀x,∀y(x∈A∧y∈x⇒y∈A)\Leftrightarrow \forall x, \forall y (x\in A \land y \in x \Rightarrow y \in A)

定理 5

∀n∈N,n\forall n \in \mathbb N, n 是传递集。
证明：
令 M={n∈N∣∀x,∀y(x∈n∧y∈x⇒y∈n)},M = \{ n \in \mathbb N \mid \forall x, \forall y (x\in n \land y \in x \Rightarrow y \in n) \}, 由 n+=n∪{n}n^+ = n \cup \{n\} 和归纳原理可得 M=NM = \mathbb N

推论 1

∀m,n∈N(m∈n⇒m⊆n)\forall m, n \in \mathbb N (m \in n \Rightarrow m \subseteq n )

推论 2

∀n∈N(n∉n)\forall n \in \mathbb N (n \not\in n)
证明：令 M={n∈N∣n∉n},M = \{ n \in \mathbb N \mid n \not\in n \}, 由 n+=n∪{n}n^+ = n \cup \{n\} 和归纳原理可得 M=NM = \mathbb N

推论 3

∀m,n∈N(m∈n⇒m⊂n)\forall m, n \in \mathbb N (m \in n \Rightarrow m \subset n )

定理 6

N\mathbb N 是传递集。
令 M={n∈N∣∀x(x∈n⇒x∈N)},M = \{ n \in \mathbb N \mid \forall x (x\in n \Rightarrow x \in \mathbb N) \}, 由 n+=n∪{n}n^+ = n \cup \{n\} 和归纳原理可得 M=NM = \mathbb N

推论

自然数的元素仍然是自然数，而且是它的真子集。

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基础集合论第三章 2 自然数集

后继

定理 1

证明：

归纳集

无穷公理

引理 1

证明：

自然数集

定理 2

证明：

定理 3 归纳原理

定理 4

传递集定义：

定理 5

推论 1

推论 2

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定理 6

推论

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