朴素贝叶斯原理及实现

一、理论基础

（一）朴素贝叶斯定理

简单的说：一个样本属于某个类别的概率是：这个类别出现的概率 * 已知这个类别出现的情况下各个属性出现的概率的乘积

根据贝叶斯定理，事件X发生时，类别Ci发生的后验概率为：

而P(X)对于所有的CI都是相等的，且假设X的各个属性之间是独立的（朴素假设），则可得：

即符合X特征变量的类别Ci的后验概率可由上述公式计算出来，然后比较各个Ci的大小，最大的那个类别即最有可能发生的。

（二）示例 1、训练数据

2、需要预测的数据为

X={age=youth,income=medium,student=yes,credit_rating}

计算此用户购买computer的可能性。

3、计算为YES的概念

（1）购买用户的总概率。从表中可见14人中有9个购买了电脑，因此概率为：

（2）在购买用户的9人中符合X特征中的age=youth的有2人，比例为：

（3）在购买用户的9人中符合X特征中的income=medium的有4人，比例为：

（4）在购买用户的9人中符合X特征中的student=yes的有6人，比例为

（5）在购买用户的9人中符合X特征中的credit_rating的有6人，比例为

根据朴素贝叶斯定理，

其中：

P(X)对所有分类都相等

符合X={age=youth,income=medium,student=yes,credit_rating}的情况下，Ci={buys_computer=yes}的后验熬概率为：

3、使用同样的方法，可以计算出符合X的情况下，Cj=(buys_computer=no)的后验概率为：

4、结论：由上面的计算结果可知，朴素贝叶斯分类预测元组X的类为buy_computer=yes。

（三）三种常见的模型

1、伯努利模型

与多项式模型一样，伯努利模型适用于离散特征的情况，所不同的是，伯努利模型中每个特征的取值只能是1和0(以文本分类为例，某个单词在文档中出现过，则其特征值为1，否则为0).

伯努利模型中，条件概率P(xi|yk)的计算方式是：

当特征值xi为1时，P(xi|yk)=P(xi=1|yk)；

当特征值xi为0时，P(xi|yk)=1−P(xi=1|yk)；

2、多项式模型

当特征是离散的时候，使用多项式模型。多项式模型在计算先验概率P(yk)和条件概率P(xi|yk)时，会做一些平滑处理，具体公式为：

P(yk)=Nyk+αN+kα

N是总的样本个数，k是总的类别个数，Nyk是类别为yk的样本个数，α是平滑值。

P(xi|yk)=Nyk,xi+αNyk+nα

Nyk是类别为yk的样本个数，n是特征的维数，Nyk,xi是类别为yk的样本中，第i维特征的值是xi的样本个数，α是平滑值。

当α=1时，称作Laplace平滑，当0<α<1时，称作Lidstone平滑，α=0时不做平滑。

如果不做平滑，当某一维特征的值xi没在训练样本中出现过时，会导致P(xi|yk)=0，从而导致后验概率为0。加上平滑就可以克服这个问题。

3、高斯模型

当特征是连续变量的时候，运用多项式模型就会导致很多P(xi|yk)=0（不做平滑的情况下），此时即使做平滑，所得到的条件概率也难以描述真实情况。所以处理连续的特征变量，应该采用高斯模型。

下面是一组人类身体特征的统计资料。

性别

身高（英尺）

体重（磅）

脚掌（英寸）

男

180

男

5.92

190

男

5.58

170

男

5.92

165

女

100

女

5.5

150

女

5.42

130

女

5.75

150

已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？

根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。

P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)

这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？

这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。

比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。

对于脚掌和体重同样可以计算其均值与方差。有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。

P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男)

　　　　= 6.1984 x e-9　　P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女)

　　　　= 5.3778 x e-4

可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。

总结

高斯模型假设每一维特征都服从高斯分布（正态分布）：

P(xi|yk)=12πσ2yk,i√e−(xi−μyk,i)22σ2yk,i

μyk,i表示类别为yk的样本中，第i维特征的均值。

σ2yk,i表示类别为yk的样本中，第i维特征的方差。

4、简单总结

（1）多项式模型：适用于属性值为有限的多个数值的情况，如收入分为高中低三个层次。

（2）高斯模型：适用于属性值为连续的情况，如收入的具体数值，观看某个电视剧的次数等。当然也可以将这些值划分到一定的区间，然后使用多项式模型，但这样就没这么精确了。

（3）伯努利模型：适用于属性值只是2个的情况。如性别作为标签，值只是男和女。其实这只是一种特殊的二项式。

（4）如果一个训练集数据足够多且是高斯分布的话；利用多项式分布进行训练的话，训练出的模型会逼近高斯分布。也就是说数据量大大多于属性值的数量时，完全可以用多项式模型代替高斯模型。这是spark mllib目前未实现高斯分布的一个原因。另一个可能的原因是数据分布在各个节点，无法算方差，最终还是要落在一个节点上进行计算。

二、spark实现

（一）二项式及多项式模型1、训练数据

说明：

（1）朴素贝叶斯要求各个属性间是独立的，但事实上这些数据的属性是不独立的，比如年龄和是否学生就不是独立的属性。这里只是作为一个示例

（2）上述属性中，是否学生符合伯努利模型，其余3个属性均符合二项式模型。

三、spark mllib API使用