决策数(Decision Tree)在机器学习中也是比较常见的一种算法，属于监督学习中的一种。看字面意思应该也比较容易理解，相比其他算法比如支持向量机(SVM)或神经网络，似乎决策树感觉“亲切”许多。

优点：计算复杂度不高，输出结果易于理解，对中间值的缺失值不敏感，可以处理不相关特征数据。

缺点：可能会产生过度匹配的问题。

使用数据类型：数值型和标称型。

简单介绍完毕，让我们来通过一个例子让决策树“原形毕露”。

一天，老师问了个问题，只根据头发和声音怎么判断一位同学的性别。

为了解决这个问题，同学们马上简单的统计了7位同学的相关特征，数据如下：

头发声音性别

长

粗

男

短

粗

男

短

粗

男

长

细

女

短

细

女

短

粗

女

长

粗

女

长

粗

女

机智的同学A想了想，先根据头发判断，若判断不出，再根据声音判断，于是画了一幅图，如下：

于是，一个简单、直观的决策树就这么出来了。头发长、声音粗就是男生；头发长、声音细就是女生；头发短、声音粗是男生；头发短、声音细是女生。

原来机器学习中决策树就这玩意，这也太简单了吧。。。

这时又蹦出个同学B，想先根据声音判断，然后再根据头发来判断，如是大手一挥也画了个决策树：

同学B的决策树：首先判断声音，声音细，就是女生；声音粗、头发长是男生；声音粗、头发长是女生。

那么问题来了：同学A和同学B谁的决策树好些？计算机做决策树的时候，面对多个特征，该如何选哪个特征为最佳的划分特征？

划分数据集的大原则是：将无序的数据变得更加有序。

我们可以使用多种方法划分数据集，但是每种方法都有各自的优缺点。于是我们这么想，如果我们能测量数据的复杂度，对比按不同特征分类后的数据复杂度，若按某一特征分类后复杂度减少的更多，那么这个特征即为最佳分类特征。

Claude Shannon 定义了熵(entropy)和信息增益(information gain)。

用熵来表示信息的复杂度，熵越大，则信息越复杂。公式如下：

信息增益(information gain)，表示两个信息熵的差值。

首先计算未分类前的熵，总共有8位同学，男生3位，女生5位。

熵(总)=-3/8*log2(3/8)-5/8*log2(5/8)=0.9544

接着分别计算同学A和同学B分类后信息熵。

同学A首先按头发分类，分类后的结果为：长头发中有1男3女。短头发中有2男2女。

熵(同学A长发)=-1/4*log2(1/4)-3/4*log2(3/4)=0.8113

熵(同学A短发)=-2/4*log2(2/4)-2/4*log2(2/4)=1

熵(同学A)=4/8*0.8113+4/8*1=0.9057

信息增益(同学A)=熵(总)-熵(同学A)=0.9544-0.9057=0.0487

同理，按同学B的方法，首先按声音特征来分，分类后的结果为：声音粗中有3男3女。声音细中有0男2女。

熵(同学B声音粗)=-3/6*log2(3/6)-3/6*log2(3/6)=1

熵(同学B声音粗)=-2/2*log2(2/2)=0

熵(同学B)=6/8*1+2/8*0=0.75

信息增益(同学B)=熵(总)-熵(同学A)=0.9544-0.75=0.2087

按同学B的方法，先按声音特征分类，信息增益更大，区分样本的能力更强，更具有代表性。

以上就是决策树ID3算法的核心思想。

接下来用python代码来实现ID3算法：

1 from math import log

2 import operator

3

4 def calcShannonEnt(dataSet): # 计算数据的熵(entropy)

5 numEntries=len(dataSet) # 数据条数

6 labelCounts={}

7 for featVec in dataSet:

8 currentLabel=featVec[-1] # 每行数据的最后一个字(类别)

9 if currentLabel not in labelCounts.keys():

10 labelCounts[currentLabel]=0

11 labelCounts[currentLabel]+=1 # 统计有多少个类以及每个类的数量

12 shannonEnt=0

13 for key in labelCounts:

14 prob=float(labelCounts[key])/numEntries # 计算单个类的熵值

15 shannonEnt-=prob*log(prob,2) # 累加每个类的熵值

16 return shannonEnt

17

18 def createDataSet1(): # 创造示例数据

19 dataSet = [['长', '粗', '男'],

20 ['短', '粗', '男'],

21 ['短', '粗', '男'],

22 ['长', '细', '女'],

23 ['短', '细', '女'],

24 ['短', '粗', '女'],

25 ['长', '粗', '女'],

26 ['长', '粗', '女']]

27 labels = ['头发','声音'] #两个特征

28 return dataSet,labels

29

30 def splitDataSet(dataSet,axis,value): # 按某个特征分类后的数据

31 retDataSet=[]

32 for featVec in dataSet:

33 if featVec[axis]==value:

34 reducedFeatVec =featVec[:axis]

35 reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])

36 retDataSet.append(reducedFeatVec)

37 return retDataSet

38

39 def chooseBestFeatureToSplit(dataSet): # 选择最优的分类特征

40 numFeatures = len(dataSet[0])-1

41 baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 原始的熵

42 bestInfoGain = 0

43 bestFeature = -1

44 for i in range(numFeatures):

45 featList = [example[i] for example in dataSet]

46 uniqueVals = set(featList)

47 newEntropy = 0

48 for value in uniqueVals:

49 subDataSet = splitDataSet(dataSet,i,value)

50 prob =len(subDataSet)/float(len(dataSet))

51 newEntropy +=prob*calcShannonEnt(subDataSet) # 按特征分类后的熵

52 infoGain = baseEntropy - newEntropy # 原始熵与按特征分类后的熵的差值

53 if (infoGain>bestInfoGain): # 若按某特征划分后，熵值减少的最大，则次特征为最优分类特征

54 bestInfoGain=infoGain

55 bestFeature = i

56 return bestFeature

57

58 def majorityCnt(classList): #按分类后类别数量排序，比如：最后分类为2男1女，则判定为男；

59 classCount={}

60 for vote in classList:

61 if vote not in classCount.keys():

62 classCount[vote]=0

63 classCount[vote]+=1

64 sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)

65 return sortedClassCount[0][0]

66

67 def createTree(dataSet,labels):

68 classList=[example[-1] for example in dataSet] # 类别：男或女

69 if classList.count(classList[0])==len(classList):

70 return classList[0]

71 if len(dataSet[0])==1:

72 return majorityCnt(classList)

73 bestFeat=chooseBestFeatureToSplit(dataSet) #选择最优特征

74 bestFeatLabel=labels[bestFeat]

75 myTree={bestFeatLabel:{}} #分类结果以字典形式保存

76 del(labels[bestFeat])

77 featValues=[example[bestFeat] for example in dataSet]

78 uniqueVals=set(featValues)

79 for value in uniqueVals:

80 subLabels=labels[:]

81 myTree[bestFeatLabel][value]=createTree(splitDataSet\

82 (dataSet,bestFeat,value),subLabels)

83 return myTree

84

85

86 if __name__=='__main__':

87 dataSet, labels=createDataSet1() # 创造示列数据

88 print(createTree(dataSet, labels)) # 输出决策树模型结果

输出结果为：

1 {'声音': {'细': '女', '粗': {'头发': {'短': '男', '长': '女'}}}}

这个结果的意思是：首先按声音分类，声音细为女生；然后再按头发分类：声音粗，头发短为男生；声音粗，头发长为女生。

这个结果也正是同学B的结果。

补充说明：判定分类结束的依据是，若按某特征分类后出现了最终类(男或女)，则判定分类结束。使用这种方法，在数据比较大，特征比较多的情况下，很容易造成过拟合，于是需进行决策树枝剪，一般枝剪方法是当按某一特征分类后的熵小于设定值时，停止分类。

ID3算法存在的缺点：

1. ID3算法在选择根节点和内部节点中的分支属性时，采用信息增益作为评价标准。信息增益的缺点是倾向于选择取值较多是属性，在有些情况下这类属性可能不会提供太多有价值的信息。

2. ID3算法只能对描述属性为离散型属性的数据集构造决策树 。

为了改进决策树，又提出了ID4.5算法和CART算法。之后有时间会介绍这两种算法。