【数据结构与算法】二叉树

树
1.树、二叉树
2.二叉查找树
3.平衡二叉树、红黑树
4.递归树

一、树

1.树的常用概念
根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度以及层数，树的高度。

2.概念解释
节点：树中的每个元素称为节点
父子关系：相邻两节点的连线，称为父子关系
根节点：没有父节点的节点
叶子节点：没有子节点的节点
父节点：指向子节点的节点
子节点：被父节点指向的节点
兄弟节点：具有相同父节点的多个节点称为兄弟节点关系
节点的高度：节点到叶子节点的最长路径所包含的边数
节点的深度：根节点到节点的路径所包含的边数
节点的层数：节点的深度+1（根节点的层数是1）
树的高度：等于根节点的高度

二、二叉树

1.概念
①什么是二叉树？
每个节点最多只有2个子节点的树，这两个节点分别是左子节点和右子节点。
②什么是满二叉树？
有一种二叉树，除了叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。
③什么是完全二叉树？
有一种二叉树，叶子节点都在最底下两层，最后一层叶子节都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。

2.完全二叉树的存储
①链式存储
每个节点由3个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式比较常用，大部分二叉树代码都是通过这种方式实现的。
②顺序存储
用数组来存储，对于完全二叉树，如果节点X存储在数组中的下标为i，那么它的左子节点的存储下标为2i，右子节点的下标为2i+1，反过来，下标i/2位置存储的就是该节点的父节点。注意，根节点存储在下标为1的位置。完全二叉树用数组来存储时最省内存的方式。
3.二叉树的遍历
①前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
②中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的本身，最后打印它的右子树。
③后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印它本身。
前序遍历的递推公式：
preOrder® = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder® = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：N
postOrder® = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
时间复杂度：3种遍历方式中，每个节点最多会被访问2次，所以时间复杂度是O(n)。

三、二叉查找树

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值.

1. 查找操作:


public class BinarySearchTree {private Node tree;public Node find(int data) {Node p = tree;while (p != null) {if (data < p.data) p = p.left;else if (data > p.data) p = p.right;else return p;}return null;}public static class Node {private int data;private Node left;private Node right;public Node(int data) {this.data = data;}}
}

先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。
如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找。
如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树递归查找.

2. 插入操作：

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将数据直接插到右子节点的位置。
如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。
如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将数据插入到左子节点的位置
如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。


public void insert(int data) {if (tree == null) {tree = new Node(data);return;}Node p = tree;while (p != null) {if (data > p.data) {if (p.right == null) {p.right = new Node(data);return;}p = p.right;} else { // data < p.dataif (p.left == null) {p.left = new Node(data);return;}p = p.left;}}
}

3. 删除操作：
1）要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为null, 比如图中的删除节点55.
2）要删除的节点只有一个子节点(只有左子节点或者右子节点),我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就好了。
3）要删除的节点有两个子节点，我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把他替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点(如果没有左子结点，那就不是最小节点了).


public void delete(int data) {Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点Node pp = null; // pp记录的是p的父节点while (p != null && p.data != data) {pp = p;if (data > p.data) p = p.right;else p = p.left;}if (p == null) return; // 没有找到// 要删除的节点有两个子节点if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点Node minP = p.right;Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点while (minP.left != null) {minPP = minP;minP = minP.left;}p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中p = minP; // 下面就变成了删除minP了 先付好值，执行最后删除的语句pp = minPP;}// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点Node child; // p的子节点if (p.left != null) child = p.left;else if (p.right != null) child = p.right;else child = null;//执行最后删除的语句if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点else if (pp.left == p) pp.left = child;else pp.right = child;
}

二叉查找树可以支持快速地查找最大节点和最小节点，前驱节点和后继节点.
中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是O(n),非常高效。

完全二叉树的高度小于等于log2n
平衡二叉查找树的高度接近logn.
插入，删除，查找的时间复杂度比较稳定，为O(logn).

四、散列表 vs 二叉查找树

1）散列表是无序存储的，要有序的话，需要先排序，二叉查找树，只需要中序遍历，就可以在O(n)时间复杂度内，输出有序的数据序列。

散列表扩容耗时多，遇到散列冲突时，性能不稳定，常用的平衡二叉树性能稳定，时间复杂度稳定在O(logn)

3）一般来说，散列表查找，删除，插入操作的时间复杂度是常量级的。但因哈希冲突的存在，这个常量不一定比logn小，加上哈希函数的耗时，也就未必比平衡二叉查找树的效率高.

散列表构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计，冲突接近方法，扩容，缩容等.
平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这个问题。

5）为了避免过多的散列冲突，散列表装在因子不能太大，特别是基于开放寻址法接近冲突的散列表.

N、思考

1.二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？
①链式存储 ②顺序存储完全二叉树
2.给定一组数据，比如1，3，5，6，9，10.你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？
n！
3.我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？

class Solution {public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {if (root == null) return new ArrayList<>(0);List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();queue.offer(root);Queue<TreeNode> curLevelNodes = new LinkedList<TreeNode>();while (!queue.isEmpty()) {TreeNode node = queue.poll();curLevelNodes.offer(node);if (queue.isEmpty()) {List<Integer> list = new ArrayList<>(curLevelNodes.size());while (!curLevelNodes.isEmpty()) {TreeNode curNode = curLevelNodes.poll();list.add(curNode.val);if (curNode.left != null) {queue.offer(curNode.left);}if (curNode.right != null) {queue.offer(curNode.right);}}result.add(list);}}return result;}}

4.如何通过编程，求出一棵给定二叉树的确切高度呢？

[Leetcode][第104题][JAVA][二叉树的最大深度][递归][BFS]

笔记整理来源：王争数据结构与算法之美