【数据结构与算法】【算法思想】Dijkstra算法

图的两种搜索算法，深度优先搜素和广度优先搜索。这两种算法主要是针对无权图的搜索算法。针对有权图，也就是图中的每条边都有一个权重，该如何计算两点之间的最短路径？最短路径算法（Shortest Path Algorithm）。

一：算法解析
最优问题包含三个：最短路线，最少用时，最少红绿灯。
1，解诀软件开发中的实际问题，最重要的一点就是建模，也就是将复杂的场景抽象成具体的数据结构。
2，图的表达能力强，可以将求解的最短路径问题转化为：在一个有向有权图中，求两个顶点间的最短路径。
3，要解决这个问题，有个非常经典的算法，最短路径算法，更准确的叫：单源最短路径算法（一个顶点到一个顶点）。提到最短路径算法，最出名的莫过于DijKstra算法。

Dijkstra算法

算法结构


public class Graph { // 有向有权图的邻接表表示private LinkedList<Edge> adj[]; // 邻接表private int v; // 顶点个数public Graph(int v) {this.v = v;this.adj = new LinkedList[v];for (int i = 0; i < v; ++i) {this.adj[i] = new LinkedList<>();}}public void addEdge(int s, int t, int w) { // 添加一条边this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));}private class Edge {public int sid; // 边的起始顶点编号public int tid; // 边的终止顶点编号public int w; // 权重public Edge(int sid, int tid, int w) {this.sid = sid;this.tid = tid;this.w = w;}}// 下面这个类是为了dijkstra实现用的private class Vertex {public int id; // 顶点编号IDpublic int dist; // 从起始顶点到这个顶点的距离public Vertex(int id, int dist) {this.id = id;this.dist = dist;}}
}

实现算法


// 因为Java提供的优先级队列，没有暴露更新数据的接口，所以我们需要重新实现一个
private class PriorityQueue { // 根据vertex.dist构建小顶堆private Vertex[] nodes;private int count;public PriorityQueue(int v) {this.nodes = new Vertex[v+1];this.count = v;}public Vertex poll() { // TODO: 留给读者实现... }public void add(Vertex vertex) { // TODO: 留给读者实现...}// 更新结点的值，并且从下往上堆化，重新符合堆的定义。时间复杂度O(logn)。public void update(Vertex vertex) { // TODO: 留给读者实现...} public boolean isEmpty() { // TODO: 留给读者实现...}
}public void dijkstra(int s, int t) { // 从顶点s到顶点t的最短路径int[] predecessor = new int[this.v]; // 用来还原最短路径Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v];for (int i = 0; i < this.v; ++i) {vertexes[i] = new Vertex(i, Integer.MAX_VALUE);}PriorityQueue queue = new PriorityQueue(this.v);// 小顶堆boolean[] inqueue = new boolean[this.v]; // 标记是否进入过队列vertexes[s].dist = 0;queue.add(vertexes[s]);inqueue[s] = true;while (!queue.isEmpty()) {Vertex minVertex= queue.poll(); // 取堆顶元素并删除if (minVertex.id == t) break; // 最短路径产生了for (int i = 0; i < adj[minVertex.id].size(); ++i) {Edge e = adj[minVertex.id].get(i); // 取出一条minVetex相连的边Vertex nextVertex = vertexes[e.tid]; // minVertex-->nextVertexif (minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) { // 更新next的distnextVertex.dist = minVertex.dist + e.w;predecessor[nextVertex.id] = minVertex.id;if (inqueue[nextVertex.id] == true) {queue.update(nextVertex); // 更新队列中的dist值} else {queue.add(nextVertex);inqueue[nextVertex.id] = true;}}}}// 输出最短路径System.out.print(s);print(s, t, predecessor);
}private void print(int s, int t, int[] predecessor) {if (s == t) return;print(s, predecessor[t], predecessor);System.out.print("->" + t);
}

用 vertexes 数组，记录从起始顶点到每个顶点的距离（dist）。起初，我们把所有顶点的 dist 都初始化为无穷大（也就是代码中的Integer.MAX_VALUE）。
把起始顶点的 dist 值初始化为 0，然后将其放到优先级队列中。我们从优先级队列中取出 dist 最小的顶点 minVertex，然后考察这个顶点可达的所有顶点（代码中的 nextVertex）。如果 minVertex 的 dist 值加上 minVertex 与 nextVertex 之间边的权重 w 小于 nextVertex 当前的 dist 值，也就是说，存在另一条更短的路径，它经过 minVertex 到达 nextVertex。那我们就把 nextVertex 的 dist 更新为 minVertex 的 dist 值加上 w。然后，我们把 nextVertex 加入到优先级队列中。重复这个过程，直到找到终止顶点 t 或者队列为空。
以上就是 Dijkstra 算法的核心逻辑。除此之外，代码中还有两个额外的变量，predecessor 数组和 inqueue 数组。
predecessor 数组的作用是为了还原最短路径，它记录每个顶点的前驱顶点。最后，我们通过递归的方式，将这个路径打印出来。打印路径的 print 递归代码我就不详细讲了，这个跟我们在图的搜索中讲的打印路径方法一样。如果不理解的话，你可以回过头去看下那一节。
inqueue 数组是为了避免将一个顶点多次添加到优先级队列中。我们更新了某个顶点的 dist 值之后，如果这个顶点已经在优先级队列中了，就不要再将它重复添加进去了。

Dijkstra算法的时间复杂度

O(E*log V)，E表示边的个数，V表示元素个数不会超过顶点的个数
5,Dijkstra最短路径算法，实际上最短路径算法还有很多，比如Bellford算法，Floyd算法等。

笔记整理来源：王争数据结构与算法之美