【杭电多校2020】Fibonacci Sum【斐波拉契通项】【推式子】

题意：设FiF_iFi为斐波拉契数列，求

∑i=0N(FiC)k\sum_{i=0}^N(F_{iC})^ki=0∑N(FiC)k

模109+910^9+9109+9

N,C≤1018,k≤105N,C\leq10^{18},k\leq10^5N,C≤1018,k≤105

把斐波拉契暴力拆开

FiC=15[(1+52)iC−(1−52)iC]F_{iC}=\frac 1 {\sqrt{5}}[(\frac {1+\sqrt{5}}2)^{iC}-(\frac {1-\sqrt{5}}2)^{iC}]FiC=51[(21+5)iC−(21−5)iC]

为了方便，忽略常数写成

Fic=Ai−BiF_{ic}=A^i-B^iFic=Ai−Bi

所以

ans=∑i=0N(Ai−Bi)kans=\sum_{i=0}^N(A^i-B^i)^kans=i=0∑N(Ai−Bi)k

=∑i=0N∑j=0k(kj)(−1)jA(k−j)iBj=\sum_{i=0}^N\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^jA^{(k-j)i}B^j=i=0∑Nj=0∑k(jk)(−1)jA(k−j)iBj

=∑i=0k(−1)i(kj)∑j=0N(Ak−jBj)i=\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom kj\sum_{j=0}^N(A^{k-j}B^j)^i=i=0∑k(−1)i(jk)j=0∑N(Ak−jBj)i

等比数列求和即可

复杂度O(nlog⁡M)O(n\log M)O(nlogM)

推式子先从简单的入手

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
#define MAXN 100005
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+9,N=1e5,p=383008016,A=(p+1ll)*(MOD+1)/2%MOD,B=(1ll+MOD-p)*(MOD+1)/2%MOD;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans;
}
int fac[MAXN],finv[MAXN],px[MAXN],py[MAXN];
int main()
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[N]=qpow(fac[N],MOD-2);for (int i=N-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;int T;scanf("%d",&T);while (T--){ll n,c;int k;scanf("%lld%lld%d",&n,&c,&k);c%=MOD-1;int ans=0;int x=qpow(A,c),y=qpow(B,c);px[0]=py[0]=1;for (int i=1;i<=k;i++) px[i]=(ll)px[i-1]*x%MOD,py[i]=(ll)py[i-1]*y%MOD;for (int i=0;i<=k;i++) {int t=((i&1)? MOD-1ll:1ll)*fac[k]%MOD*finv[i]%MOD*finv[k-i]%MOD;int a=(ll)px[k-i]*py[i]%MOD;if (a==1) ans=(ans+(n+1ll)%MOD*t)%MOD;else ans=(ans+t*(qpow(a,(n+1ll)%(MOD-1))-1ll)%MOD*qpow(a-1,MOD-2))%MOD;}ans=(ll)ans*qpow(p,MOD-1-k)%MOD;printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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