数据库期末考试预习之候选码，最小函数依赖集，3NF分解算法，判断第几范式

一、候选码

参考链接：1

1.定义：
候选码（超级码）就是可以被选为主码的属性或属性组。当一个关系有N个属性或属性组可以唯一标识时，则说明该关系有N个候选码，可以选定其中一个作为主码。

候选码定义: 设K为关系模式R<U, F>的属性(组)，若K→FU，则称K为R的候选码。
主码：若R<U , F>有多个候选码，则可以从中选定一个作为R的主码。
主属性：包含在任一个候选码中的属性，称作主属性。
非主属性：不包含在任一个候选码中的属性，称作非主属性(或非码属性)。
全码：关系模式的码由全部属性构成。

例：
求出关系模式R<U, F>的所有候选码：
U={ A , B , C , D , E }
F={AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B }

解：验证AB是否码, 须证明 AB→FABCDE是否成立?
∵AB→C(已知), 而AB→AB(自反), ∴AB → ABC(合并)
∵B→D(已知), ∴AB→AD(增广), ∴AB → ABCD(合并)
∵C→E(已知), AB→C(已知), ∴AB → E(传递)
于是 AB → ABCDE(合并)

同理可证：AC也是一个候选码

2.方法:
讲解视频;候选码

设关系模式R<U, F>
将R的所有属性分为 L、 R、N和 LR四类，并令X代表L、N两类，Y代表LR类。
L类: 仅出现在F的函数依赖左部的属性；
R类: 仅出现在F的函数依赖右部的属性；
N类: 在F的函数依赖左右两边都不出现的属性；
LR类:在F的函数依赖左右两边都出现的属性。
求属性集闭包X+，若 X+包含了R的全部属性则X即为R的唯一候选码, 转5;
否则, 在Y中取一属性A，求属性集闭包(XA)+，若(XA)+包含了R的全部属性，则转4；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y中的属性。
如果已找出了所有的候选码，则转(5)；否则在Y中依次取2个、3个、…属性，求X与它们的属性集闭包，直到其闭包包含R的全部属性。
停止，输出结果。

例1： 设关系模式R(A, B, C, D), 其函数依赖集：
F={D→B, B→D, AD→B, AC→D}，求R的所有候选码。
解: L类: A, C
R类:
N类:
LR类: B, D
因为(AC)F+=ACDB，所以AC是R的唯一候选码

**例2：**设关系模式R(A, B, C, D, E, P), 其函数依赖集：
F={A→D, E→D, D→B, BC→D, DC→A}，求R的所有候选码。
解: L类: C, E
R类:
N类: P
LR类: A, B, D
因为(CEP)F+=CEPDBA，所以CEP是R的唯一候选码。

例3： 设关系模式R(S, D, I, B, O, Q), 其函数依赖集:
F = { S→D, I→B, B→O, O→Q, Q→I }，求R的所有候选码。
解: L类(S); R类(D) ; N类(无) ; LR类(I, B, O, Q)
因为S+=SD, 所以S不是R的候选码；
因为(SI)+=SIDBOQ，所以SI是一个候选码；
因为(SB)+=SBDOQI，所以SB也是一个候选码；
因为(SO)+=SODQIB，所以SO也是一个候选码；
因为(SQ)+=SQDIBO，所以SQ也是一个候选码。

二、最小函数依赖集

视频讲解：最小函数依赖集
参考链接：2
参考链接：3

1.定义：
如果函数依赖集F满足以下三个条件，则称F为最小函数依赖集，记作Fm。
①F中每个函数依赖的右部都是单属性，即右部最简化。
②对于F中任一函数依赖X -> A 和X的真子集X’,(F - (X - A)) ∪ (X’ -> A)
与F都不等价，即左部无多余属性。
③对于F中任一函数依赖X -> A,F - {X -> A}与F都不等价,即无多余函数依赖。

2.方法：
输入：一个函数依赖集F。
输出：F的一个等价的最小函数依赖集Fm。
步骤：
(1)用分解规则，使F中的每个函数依赖的右部仅含单属性。此步为等价分解。
(2)去掉多余的函数依赖。逐一检查上步结果F的各函数依赖X -> A,并将X -> A从F中去掉，然后在剩下的F中去求X+，若A包含于X+，则X -> A多余。依次做下去，直到找不到冗余的函数依赖。此步为等价消依赖。
(3)去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查左部非单个属性地函数依赖。即XY -> A ,判断Y是否多余，则在分解后地F求X的属性闭包X+，若A包含于X+ ，则Y是多余的。此步为等价消属性。

口诀：
右侧先拆单，依赖依次删。
还原即可删，再拆左非单。

例：
U=(A,B,C,D,E,G) F={BG->C,BD->E,DG->C,ADG->BC,AG->B,B->D}，求F最小依赖集。

解：

第一步：右边单一化。

F1={BG->C,BD->E,DG->C,ADG->B,ADG->C,AG->B,B->D}

第二步：逐个求，在去掉它的F中求闭包，如果包含右边属性，则表示这个函数依赖要去掉。

BG->C：求(BG)+=BCDEG，包含右边属性C，所以去掉。

BD->E：(BD)+=BD，不包含右边E，所以不用去掉。

DG->C：(DG)+=DG，也不用去掉。

ADG->B：(ADG)+=U，包含B，所以去掉。

ADG->C：(ADG)+包含C，去掉。(在这里，求闭包的时候，不能再用前面去掉的函数依赖了，所以如果从后往前判断，可能不用去掉ADG->B，所以最小依赖集不唯一，写出一个即可。)

AG->B：(AG)+=AG，不用去掉。

B->D：(B)+=B，不用去掉。

所以F2={BD->E,DG->C,AG->B,B->D}

第三步：对左边属性单一化，判断冗余，代替。

BD->E：B->E，求(B)+=BD，包含D，所以D冗余。
D->E，求(D)+=D，所以B不冗余。
所以用B->E代替BD->E。

DG->C：D->C，(D)+=D，所以G不冗余。
G->C，(G)+=G，所以D不冗余。

AG->B：A->B，(A)+=A，所以G不冗余。
G->B，(G)+=G，所以A不冗余。

所以Fm={B->E,DG->C,AG->B,B->D}。

三、3NF分解算法

1.定义：
第三范式（3NF）：第三范式需要确保数据表中的每一列数据都和主键直接相关，而不能间接相关。

2.方法
参考链接：4

步骤：
（1）找出F的一个最小基本集，记为G。
（2）对于G中的每一个FD X→A，将XA作为分解出的某个关系的模式。
（3）如果第2步分解出的关系的模式均不包含R的超键，则增加一个关系，其模式为R的任何一个键。

口诀：
保函依赖分解题，先求最小依赖集。

依赖两侧未出现，分成子集放一边，剩余依赖变子集。

若要连接成无损，再添候选做子集。

例：
已知R(ABCDE), F={A ->D,E->D,D->B,BC->D,DC->A}求保持函数依赖的3NF分解，和具有无损连接性及保持函数依赖的3NF分解

第一步：保函依赖分解题，先求最小依赖集。
先求出R的最小依赖集，可得F={A ->D,E->D,D->B,BC->D,DC->A}

第二步：依赖两侧未出现，分成子集放一边。
首先可以发现没有不出现在两侧的元素不用单独分出一个子集。
“剩余依赖变子集”然后我们将各依赖分别划分为子集得到：{AD} {ED} {DB} {BCD} {DCA}，
即为所求保持函数依赖的3NF分解

第三步：若要连接成无损，再添候选做子集。
(1)候选码的求解：所谓候选码即能决定整个关系的，我们通过找未出现在依赖右边的和两侧均未出现的元素即可求得，
(2)可以发现C E未出现在右边，因此候选码为{CE}。故所求具有无损连接性及保持函数依赖的3NF分解为{AD} {ED} {DB} {BCD} {DCA} {CE}

四、判断属于第几范式

讲解视频：第几范式

1NF是指数据库表的每一列都是不可分割的基本数据项，即实体中的某个属性不能有多个值或者不能有重复的属性。

2NF要求属性完全依赖于主键，不能存在仅依赖主关键字一部分的属性。

3NF要求每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码。

BCNF消除了主属性对候选码的部分和传递函数依赖。