概率论---泊松分布
(一)泊松分布是什么
泊松分布是用于近似二项分布的情况的。二项分布有两个参数,一个是事件发生的概率p,一个是试验的总数n。当p非常小且n也有一定大的时候(n大于等于20,p小于等于0.05),就可以用泊松分布来近似二项分布,用泊松分布来近似二项分布的好处是计算方便。
(二)泊松分布公式以及通俗地推导过程
泊松分布公式:
通俗推导:
假设某一零件厂每天生成的次品数如下:
周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
3 | 7 | 4 | 6 | 5 |
均值为:
假设我们把每天工厂生产时间设为T:
再把T分为n=4份,并把周一生产出的三个次品放进去:
此时工厂在每个时间段生成次品的概率就如同抛硬币,要么出现,要么不出现,这样子工厂生产次品的概率符合二项分布:
但当把数据换成周二的7个次品呢?
则出现每个时间段多余一个次品的情况,这样的话就不符合二项分布了。要使其符合二项分布,就必须使n变大,现在让我们把n=8:
这样子又能符合二项分布了:
即只要不出现一个时间段内出现两个次品的情况,就能用二项分布解决。
为了达成一个时间段内不出现两个次品的条件,我们干脆把n趋向于无穷,因为n越大,T分成的时间段就越多:
更抽象一点,T时间里出现k个次品的概率为:(式子1)
上式中,n趋于无穷,k是可以确定的,那么p应该怎么求呢?
上面的式子1,已经符合二项分布的,而二项分布的期望为:
因此:
----(式子2)
有了式子2后,式子1可以变成:
计算这个极限:
因为当时:
所以:
最后把,得到泊松分布的概率密度函数的公式:
画出概率密度函数:
当k=8时,绿色部分加起来为0.93,即每天生产次品不超过8个的概率为0.93
(三)总结:
当p十分小且n也比较大的时候可以推荐用泊松分布(n大于等于20,p小于等于0.05)。
(四)例题分析计算
计算机硬件公司制造某芯片,次品率为0.1%,各芯片称为次品相互独立,求在1000个产品中至少有2只次品的概率,以X记产品中的次品数。
解:
用二项分布:
用泊松分布计算:
由提:,代入泊松分布的式子:
显然用泊松分布计算方便一点。
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