SG函数求解 NIM游戏先手必胜必败问题

NIM游戏：
两人玩家，给定状态之间转移规则，每个人轮流移动，最终得出胜负。
设P为必败点，N为必胜点
精髓： 能到达必败点的所有点都为必胜点，一般解题都是先找到一个必败点，然后由此点推必胜点

有的题目不是巴什博奕的类型，在取物品上有特定的取法，需要用sg函数来解

若题目中只讨论一堆物品然后让判断先手必胜还是必败，一般就用一个数组SG[n]打表，其中n是该物品的数量，通过递推求出所有范围内的SG[]的值，为0时必败，为1时必胜

1.对一类题目，两人轮流抓牌类，每次抓取方式有多种（斐波那契数、幂函数等可用数组存取）
定义mex运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数，运用SG打表
例如：mex{0,1,2,4}=3 mex{2,3,5}=0 mex{}=0
对于任意状态的x，定义SG(x)=mex(S) ，其中S是x后继状态的SG函数值的集合，一般情况下我们会开一个S[]数组，其中它的下标表示在当前for循环i下，取过一次之后后继状态的SG函数值。可以通过将这些后继状态得到的SG函数值全部标记，然后后续遍历S[]数组，找出最小的未被标记的值就作为找到的mex(S).
什么是x的后继状态？例如取石子，每次有多种取法，取完之后的状态就是x的后继状态，因此有多个后继状态

例题1： 作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、总共n张牌;
2、双方轮流抓牌；
3、每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含一个整数n（1<=n<=1000）。
如果Kiki能赢的话，请输出“Kiki”，否则请输出“Cici”，每个实例的输出占一行。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1005;
int m,n;
int SG[N],f[N],S[N];
void ff()
{for(int i=1;i<N;i++){f[i]=pow(2,i-1);//f[i]中存取的每次拿牌可用的取法}
}
void GETSG(int n)//打表
{memset(SG,0,sizeof(SG));for(int i=1;i<=n;i++){memset(S,0,sizeof(SG));for(int j=1;f[j]<=i&&j<=20;j++)//该题最多有20种取法{S[SG[i-f[j]]]=1;//S为标记，将所有后继状态的SG函数值都标记了，即知道了后继状态是必败还是必胜。
//如果后继状态全是必胜点，则当前是必败点。如果后继状态有必败点，则当前是必胜点(因为你足够聪明让对手面临必败)}for(int j=0;;j++)//然后遍历S数组，找到第一个没有被标记的值，就是不存在于mex的值，即为该轮循环SG[i]的值{if(!S[j]){SG[i]=j;break;}}}
}
int main()
{int a;ff();while(scanf("%d",&a)!=EOF){GETSG(a);if(SG[a])printf("Kiki\n");elseprintf("Cici\n");}
}

2.一般题目均是先找到一必败点，然后逐渐往前推，也是打表
**例题：**输入一个数字字符串，两人轮流执行两个操作中的任意一个操作，最后不能执行操作的人败
(1) 将任意一位(个十百…)上面的数减小
(2) 将任意一个0后面的数删除(包括0)
由题意可知1是必败点，则从1开始往后推打表，SG[x]，x指的就是该字符串转为的数字

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int SG[maxn];
int getlen(int x)
{int len=0;while(x){len++;x/=10;}return len;
}
void getSG(int n)
{int len=getlen(n);//计算n的位数int k=1;for(int i=1;i<=len;i++){int v=n;int t=(n/k)%10;//计算当前位的数字距离9的大小，看执行接下来的几次循环 for(int j=t+1;j<=9;j++){v=v+k;//将每一位上面的数字增加，然后SG函数值都为1，均是必胜点SG[v]=1;}k*=10;}//必败点的任意一位数字增加一点，都是必胜点 这两个for循环从个位开始，然后增加至9为止，依次十位，百位..... k=1;while(len<6){n*=10;for(int i=0;i<k;i++)SG[n+i]=1;//必败点在后面有0后，0后面加任意的数字都是必胜点 k*=10;len++;}
}
int main()
{SG[0]=1;for(int i=1;i<1000000;i++){if(!SG[i])//已知1是必败点，则从1开始找必胜点，能到达1的点都是必胜点，那么我们可以从必败点1开始推出所有必胜点 有两种情况①必败点任意1位数字增加都是必胜点 getSG(i);//②在必败点后面补0，0后面加任意数字都是必胜点 }char s[15];while(~scanf("%s",s)){int k=atoi(s);if(SG[k])printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}return 0;
}

3.有的通过递归，但还是先找必败点
有多个容器，每个容器都有一定的容量和原有石子数，现在两个人轮流在任意容器放石子，规定每次放的数量不能超过原有石子数的平方。问先手胜还是先手败

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int SG(int n,int m)
{/*先找必败点,对一个容器分析,设容量为n,已有m石子,我们找一点x(两人轮流放石子过程中容器中石子量)当x,n满足  1.x+x*x<n  2.x+1+(x+1)*(x+1)>=n 这两个条件时x点为必败点因为你一下子没法装满，而对手下次必定装满。 即对一个容器能使对手面临到x点自己就赢了。此时最大的x可通过计算直接得出当m>x时，则先手就可以一下装完，先手必胜当m==x时，则先手面临必败点，先手必败当m<x时， 则先手就想让对手面临x点     若先手能一下子装的石子量可以到达x点，则先手必胜若先手能一下子装的石子量不能到达x点，则先手必败因此 当m<x时，先手的胜负就转换为在容量为x初始石子量为m的容器中的胜负，即SG(n,m) = SG(x,m)*/ int x=sqrt(n)+1;while(x+x*x>=n){x--;}if(m>x)return n-m;else if(m==x)return 0; else return SG(x,m);
}
int main()
{int n,a,b,sum,k=1;while(~scanf("%d",&n)){sum=0;if(n==0)break;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&a,&b);sum^=SG(a,b);}printf("Case %d:\n",k);k++;if(sum)printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}return 0;
}

洛谷p1290 欧几里得的游戏
欧几里德的两个后代Stan和Ollie正在玩一种数字游戏，这个游戏是他们的祖先欧几里德发明的。给定两个正整数M和N，从Stan开始，从其中较大的一个数，减去较小的数的正整数倍，当然，得到的数不能小于0。然后是Ollie，对刚才得到的数，和M，N中较小的那个数，再进行同样的操作……直到一个人得到了0，他就取得了胜利。下面是他们用(25，7)两个数游戏的过程：
Start：25 7
Stan：11 7
Ollie：4 7
Stan：4 3
Ollie：1 3
Stan：1 0
Stan赢得了游戏的胜利。
现在，假设他们完美地操作，谁会取得胜利呢？

题解：同样先找必败点，可知(3 1)局面是必胜点，那么(4 3)局面是必败点，那么(4 7)局面是必胜点，(11 7)局面是必败点，原因是对于两个数，一个数除以另一个数为1，那么每次操作都是固定的：(大的数-小的数) 因此对应局面也是相反的
对于两个数，一个数除以另一个数大于1的，仔细观察其后继局面如(25 7)，其后记局面可以为 (18 7) (11 7) 也可以为(7 4)
可知(11 7)与(7,4)必定是两个相反的局面，因此SG函数值必定有一个为0 ，所以(25 7)这个局面的SG函数值必定大于0，即一定是必胜点，因此对于两个数一个数除以另一个数大于1的，此局面就是必胜点

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
bool SG(int n,int m)
{if(m==0)return false;if(n/m==1)return !SG(m,n%m);//如果大的数除以小的数==1，说明只有一种操作即大的数－小的数elsereturn true;//如果n/m>1,就是必胜局面
}
int main()
{int T,n,m;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);if(SG(max(n,m),min(n,m)))printf("Stan wins\n");elseprintf("Ollie wins\n");}return 0;
}

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