单目标跟踪小结（2）：算法

内容主要提取自 edX 平台上Chalmers的micromaster项目：Emerging Automotive Technologies: Sensor Fusion and Non-linear Filtering for Automotive Systems。

本文主要设计选通机制（gating）,最近邻滤波（Nearest Neighbour Filtering），加权融合滤波（Probabilistic data association filtering），高斯叠加滤波（Gaussian Sum Filtering）。

在单目标跟踪小结（1）：理论推导中，经过推导，假设，简化后，对线性高斯模型，我们得到如下单目标跟踪算法：

已知：

预测：

更新：

从而：

我们发现，经过一个时间步后，的项数较上一个时刻增加倍，而我们希望与具有相同的形式，以方便递归计算。

1、选通机制（gating）

我们先介绍选通机制，此方法有助于我们减少的项数。

考虑：

当，即在杂波强度近似处处相等时，

可见，当：

越大时，越小，其对应的对的贡献就越小，这允许我们忽略其对的影响，从而减少的求和项数。

称为马氏距离(Mahalanobis Distance)，在这里实际上计算了实际测量的与间的距离，距离越大，表明是对目标的测量的可能性就越小。

因为：，所以：，其中为的维度，这里是卡方分布的自由度。我们可以选择一个数值 G 作为 gate，则：

表示对目标的观测落在范围内的概率。从而，当我们选择（有99.5%的把握认为外的观测是杂波杂波）时，我们可以得到所需的 G。我们首先使用此方法来排除一些杂波点。

2、最近邻滤波（Nearest Neighbour Filtering）

最近邻滤波的思路十分简单，即保留最大的作为的近似，此时更新之后，也仅有一项。事实上，最大的项，对应最小，因此称之为最近邻。

此算法计算量小，速度快，在简单场景下效果好；但容易跟丢目标，复杂场景误差大。

具体算法如下：

3、加权融合滤波（Probabilistic data association filtering）

我们记：

由多个高斯分布加权求和而得，在本算法中，我们用一个高斯分布来近似上述高斯加权和，近似后的均值和协方差计算如下：

此算法也比较容易实现，适用于简单场景，且效果略好于最近邻滤波；在复杂场景中同样表现不佳。

具体算法如下：

4、高斯叠加滤波（Gaussian Sum Filtering）

此算法仅保留中的若干项，不超过上限。设此时是项高斯分布之和，即已知：

预测：

即：相当于对每一项进行预测，权重保持不变，计算加权和：

更新：

即：相当于对预测结果中每一项进行更新，并计算加权和。由上述分析可见，当由若干项叠加而成时，可对每一项进行预测-更新，最后再求加权和。我们提醒，此时总项数由变成。

具体算法如下：

高斯叠加滤波可以根据算力资源调整复杂度，比最近邻滤波和加权融合滤波更为精确；但算法实现比较复杂，相比后两者对算力要求高，通常在较复杂场景中才能显示其精度优越性。当使用场景十分复杂时，三种算法都有可能失效。

下面通过一个简单案例，实现高斯叠加滤波算法，参见：单目标跟踪小结（3）：MATLAB实践