雷劈数

有位外国数学家叫卡普利加，在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，电闪雷鸣过后，他看到路边一块里程碑，被雷电劈成两半，一半上刻著30，另一半刻著25。这时，卡普利加的脑际中忽然发现了一个绝妙的数学关系——

把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数位。除此之外，还有没有别的数，也具有这样的性质呢？

熟悉速算的人很快就找到了另一个数：2025 按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普利加数”，又称“雷劈数”。

现在已有许多办法搜寻这种数，但最简便的办法是在9与11的倍数中寻找。例如上面提到的55，它是11的倍数，45是9的倍数。用这种办法，人们果然找到了一个极其有趣的7777，不难验算：6048+1729=7777

前苏联的一个小朋友卡嘉也发现了一个新的“雷劈数”，它是9801。98+1=99，从以上提到的4个“雷劈数”，我们不难发现同一情况：偶数+奇数=奇数，奇数的平方=奇数。3025，2025，9801和60481729都是奇数。那麽，有没有偶数雷劈数存在呢？

答案是肯定的。7年以前，泸州师范附小的一位同学，就发现了偶数“雷劈数”：100，因为10+0=10，，经过验证，100是最小的偶数雷劈数，也有可能它是唯一的偶数雷劈数。这位同学还发现了最小的奇数雷劈数：81，因为，8+1=9，可以推测：在数学王国裏，数值最小的雷劈数只有1个，数值较大的雷劈数会有无数个存在，其中的奥秘还有待人们去不断探索。

雷 劈 数 及 其 规 律

据说数学家卡普利加发现了一种具有特殊性质的数，被叫作“卡普利加数”或“ 雷劈数。它们是这样的数：如果在某一个位置上把它截成两个整数，这两个数的和的平方仍然等于这个数。设截断的位置在右起第n和第n＋1位之间，截成的两个数为a与b，即 该雷劈数等于……………… (1)

第一个雷劈数是卡普利加在暴风雨中看到的、被雷电劈成两半的里程碑上的数字3025 ，它被截成30，25两个数，其和30＋25＝55的。这就是"雷劈数"的来历。

此后就有人热衷于寻找新的雷劈数。据说前苏联的一位小朋友找到一个劈成98和 01的雷劈数：9801。在已知的一些雷劈数中，它们被劈成的两数之和都是 9或11的倍数，或者其和减 1是 9的倍数，人们就是按这些经验去寻找新雷劈数。中国小学生刘益找到了最小的奇数雷劈数81与偶数雷劈数100。

雷劈数在自然数中的分布十分稀少，它们在大数中密度更小。因为它们的密度是按指数规律减少的。设＜N 的雷劈数个数为 n 个，则有 log(n)/log(N)<0.175，见下表：

log(N) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

n 1 2 5 7 9 11 18 21 26 32 57 59 65

log(n)/log(N) .000 .100 .175 .169 .159 .149 .157 .147 .141 .137 .146 .136 .129

这个雷劈数密度规律是由14位自然数内的全部雷劈数表实际统计而得，而长度在14位 以内全部共66个的雷劈数表是我们用计算机找出来的。从这张已知的雷劈数表可见，雷劈 数可以是奇数，也可以是偶数，但总是成对出现的，即对于一个相同的 b值，总有两个a1 、a2组成成对的雷劈数 a1＊10＾n＋b 和 a2＊10＾n＋b 。因为这个缘故，这张表中的雷 劈数没有完全按大小次序来排列。注意：对于任意的 n，2n位的数10^n＊(10^n－2)＋1 和 2n+1位的数10^2n 可叫作平凡雷劈数，但不成为一对，而是分别与 1和 0成对，即 b=1 时有 a1＝1 ，a2＝ 10^n－2构成一对；对于 b=0，有a1＝0，a2＝10^n 构成一对。

由于雷劈数太稀少，又象素数那样没有确定的分布规律，要用人工发现一个雷劈数是 很困难的，特别是大的雷劈数，即使用计算机去逐个去查找，也要很多时间。因为一个 n 位数可以在 n-1个不同的位置劈开，所以要试验n次才能确定它是不是雷劈数。这样，要找 出所有长 n 位的雷劈数，就要试验(n－1)*(10^(n＋1)－10^n)＝(n- 1)＊9＊10^n ＝1.289＊10^16次，若用速度为 80兆的 486微机来计算，每秒可试验 30000次左右，也要 13614年。所以必须分析雷劈数的性质，从中找出并利用其规律。

由式(1)可知，当 b 已知时，该雷劈数的 a 值可以从下列方程式解出来：

a^2 ＋ (2b－10^n)＊a + (b^2－ b) ＝ 0 …………………………… (2)

这是关于变数 a 的 2次方程式，它有两个根 a1、a2，这就是为什麼雷劈数总是成对 的缘故。但要使(2)的根a1、a2是有效的自然数，必须使其判别式等于平方数：

(2b－10^n)^2－4＊1＊(b^2－b)＝ 10^(2n)－4b＊(10^n－1)＝ c^2 …… (3)

由此式解出 b：

b ＝ (10^n－c)＊(10^n＋c)/ 4 /(10^n－1) ………………………… (4)

只要找出一个能使 (4)式的 b是整数的整数 c，并求出(3)式的两个根a1，a2

-(2b－10^n)±c 10^n ± c

a1，a2 ＝ ———————— ＝ —————— － b ………………………… (5)

2 2

即找到了一对雷劈数a1＊10^n＋b，a2＊10^n＋b。现在代替从 1检查到 10^14找到全部 雷劈数，只要从 1检查到10^7，找使 □式的 b是整数的 c 值，微机只要38分钟就完成了。

由□式我们可得每对雷劈数的和之积：(a1＋b)＊(a2＋b)＝(10^2n－ c^2) / 4

再把□式的 c^2 = 10^2n－4＊b＊(10^n－1)代入可得：

(a1＋b)＊(a2＋b)＝ 2b＊(10^n － 1)

因为 10^n－1 是 9 的倍数，即每对雷劈数中，至少有一个是 9的倍数。当 n是偶数

时，10^n－1 还是11的倍数，即两对雷劈数中，至少有一个的是11的倍数。这就是前面提 到的找雷劈数的经验方法所依据的规律。 这个规律也可以由所列的雷劈数表来进行验证：

在这66个雷劈数中，其和可同时被 9和11整除的占15％，能被 9整除的占52％，能被11整 除的占32％。但是还有32％既不能被 9整除也不能被11整除。

以上这种雷劈数是在某个位置劈成两个数再相加，其和的平方仍等于这个数。如果不是相加，而是相减又会是怎麼样的呢？也就是说，劈成两个数后，它们的差的平方等于该自然数的数也应该有吧？编个程序找了一下，果然是有的，姑且把它叫作减雷劈数。减雷劈数比原来的雷劈数少一半，它们也是成对的出现的。现在把14位数以内的28个减雷劈数也录于后面，供大家验证。

附录1：14 位以内的雷劈数表

8 1, 10 0│ 494 1729│ 250500 250000│ 101558 217124│ 923594 037444

20 25│ 6048 1729│ 217930 248900│ 464194 217124│ 28 005264

30 25│ 9998 0001│ 284270 248900│ 43470 165025│ 989444 005264

98 01│ 10000 0000│ 213018 248521│ 626480 165025│ 999998 000001

100 00│ 4938 17284│ 289940 248521│ 35010 152100│ 1000000 000000

88 209│ 60494 17284│ 152344 237969│ 660790 152100│ 2428460 2499481

494 209│ 3008 14336│ 371718 237969│ 33058 148761│ 2572578 2499481

998 001│ 68320 14336│ 127194 229449│ 669420 148761│ 1975308 2469136

1000 000│ 238 04641│ 413908 229449│ 21948 126201│ 3086420 2469136

2450 2500│ 90480 04641│ 123448 227904│ 725650 126201│ 39390 0588225

2550 2500│ 99998 00001│ 420744 227904│ 20408 122449│ 8784160 0588225

744 1984│ 10000 000000│ 108878 221089│ 734694 122449│ 9999998 0000001

5288 1984│ 249500 250000│ 448944 221089│ 1518 037444│ 10000000 0000000

附录2： 14 位以内的减雷劈数表

10 0│ 6 084│ 10000 0000│ 3306 21489│ 10000000 0000000

12 1│ 1162 084│ 10002 0001│ 139672 21489│ 10000002 0000001

100 00│ 82 369│ 120 1216│ 1000000 000000│ 743802 3471076

102 01│ 1656 369│ 12312 1216│ 1000002 000001│ 16198350 3471076

1000 000│ 132 496│ 100000 00000│ 113322 449956│

1002 001│ 1860 496│ 100002 00001│ 1786590 449956│

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