粗糙集的基础理论汇总
粗糙集
什么是粗糙集
1982年波兰学者Z. Pawlak 提出了粗糙集理论——它是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致（inconsistent)、不完整（incomplete) 等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。已被广泛应用于知识发现、机器学习、决策支持、模式识别、专家系统及归纳推理等领域。
从数学的角度看，粗糙集是研究集合的；从编程的角度看，粗糙集的研究对象是矩阵,只不过是一些特殊的矩阵；从人工智能的角度来看，粗糙集研究的是决策表。
举一个例子
| 学生 | 食堂饭钱 | 超市花销 | 其他佐证 | 贫困 |
|---|---|---|---|---|
| s1 | 高 | 高 | 无 | 否 |
| s2 | 高 | 高 | 有 | 否 |
| s3 | 高 | 低 | 无 | 存疑 |
| s4 | 高 | 低 | 有 | 存疑 |
| s5 | 低 | 高 | 无 | 存疑 |
| s6 | 低 | 高 | 有 | 存疑 |
| s7 | 低 | 低 | 无 | 是 |
| s8 | 低 | 低 | 有 | 是 |
论域（记作U）：病人，比如在这个表格中，就是从s1到s8
属性：分为条件属性和决策属性（记作C）。
其中，条件属性又有食堂属性、教超属性以及证明属性。
这些条件属性又被称为论域上的知识。
我们把这个记作信息系统S
以决策属性C分类的论域S，记作
U / C= { {s1s_1s1, s2s_2s2}, {s3,s4,s5,s6s_3, s_4, s_5, s_6s3,s4,s5,s6}, {s7s_7s7, s8s_8s8} } = {X1,X2,X3X_1, X_2, X_3X1,X2,X3}
X1X_1X1 = {s1,s2s_1, s_2s1,s2} 不妨把它称作非贫困类
X2X_2X2 = {s3,s4,s5,s6s_3, s_4, s_5, s_6s3,s4,s5,s6} 不妨把它称作存疑贫困类
X3X_3X3 = {s7,s8s_7, s_8s7,s8} 不妨把它称作贫困类
随机给出一个集合X = {s1,s2,s7s_1, s_2, s_7s1,s2,s7} ，显然 X 是C 的粗糙集，因为不能通过组合的方法从 X1，X2，X3X_1， X_2， X_3X1，X2，X3 得出 X 的。
上近似
对于上文随机给出的一个粗糙集 X={s1,s2,s7s_1, s_2, s_7s1,s2,s7}：
非贫困类 ： {s1，s2}∩X={s1,s2}→X1∩X={s1,s2}\{s1， s2\} ∩ X = \{s1, s2\} → X_1 ∩ X = \{s1, s2\}{s1，s2}∩X={s1,s2}→X1∩X={s1,s2}
存疑贫困类： {s3,s4,s5,s6}∩X=∅→X2∩X=Ø\{s3, s4, s5, s6\} ∩ X = \empty→ X_2 ∩ X = Ø{s3,s4,s5,s6}∩X=∅→X2∩X=Ø
贫困类： {s7,s8}∩X={s7}→X3∩X={s7}\{s7, s8\} ∩ X = \{s7\} → X_3 ∩ X = \{s7\}{s7,s8}∩X={s7}→X3∩X={s7}
把 X1X_1X1 和 X3X_3X3 称作是 X 关于C 的上近似。记作R‾X\overline{R}XRX.
下近似
对于上文随机给出的一个粗糙集 X={s1, s2, s7}：
非贫困类：{s1, s2} ⊆\subseteq⊆ X → X1X_1X1 ⊆\subseteq⊆ X
存疑贫困类：{s3, s4, s5, s6} ⊈\nsubseteq⊈ X → X2X_2X2 ⊈\nsubseteq⊈ X
贫困类：{s7, s8} ⊈\nsubseteq⊈ X → X3X_3X3 ⊈\nsubseteq⊈ X
把 X1X_1X1 和 X3X_3X3 称作是 X 关于 C 的下近似。记作R‾X\underline{R}XRX.
正域、负域、边界域
论域U被X的上近似以及下近似集划分为正域POSR(X)POS_R(X)POSR(X)，负域NEGR(X)NEG_R(X)NEGR(X)以及边界域BNDR(X)BND_R(X)BNDR(X)三个互不相交的区域。
正域：
POSR(X)=R‾XPOS_R(X) = \underline{R}X POSR(X)=RX
负域：
NEGR(X)=U−R‾XNEG_R(X) = U - \overline{R}X NEGR(X)=U−RX
边界域：
BNDR(X)=R‾X−R‾XBND_R(X) = \overline{R}X - \underline{R}X BNDR(X)=RX−RX
不难看出
POSR(X)∩NEGR(X)∩BNDR(X)=UPOS_R(X) \cap NEG_R(X) \cap BND_R(X) = U POSR(X)∩NEGR(X)∩BNDR(X)=U
系统的定义
在一个决策的信息系统S里:
论域 就是数学里的集合，我们研究的对象构成的集合。
知识 论域中的任何一个子集都可以被称作是知识，这是一种对于论域进行分类的能力，一般是由特征属性进行分类。
不可分辨关系 在指定的知识下，不可以被区分开来的对象之间构成了不可分辨关系，也就是等价关系。举个例子，如果以是否为贫困生作为标准，那么贫困生中的各个年级的学生都构成了不可分辨关系。
精确集与粗糙集 在一个知识下，如果论域可以由若干子集组合而成，那么论域就构成了精确集，否则，则为粗糙集。
上近似与下近似 上近似就是包含指定的集合X的元素最小可定义集；下近似就是包含X的最大可定义集。
知识粒度：
属性重要度：
知识粒度
在一个决策信息系统S中，存在一种知识B⊂\sub⊂C，使得 U/B={x1,x2,x3,…,xm}U / B = \{x1, x2, x3, …, x_m\}U/B={x1,x2,x3,…,xm}，一共区分出了m个等价类。则B的知识粒度GPu(B)GP_u(B)GPu(B)为:
GPU(B)=∑i=1m∣Xi∣2∣U∣2GP_U(B) = \sum_{i=1}^m\frac{|X_i|^2}{|U|^2} GPU(B)=i=1∑m∣U∣2∣Xi∣2
在粗糙集中，等价类的知识粒度越细，划分的能力就越强，近似集就会越精确；否则，划分能力就弱，近似集越粗糙。
1∣U∣≤GPu(B)≤1\frac{1}{|U|} \leq GP_u(B) \leq 1∣U∣1≤GPu(B)≤1
当U/B={X1,X2,…,X{∣U∣}}U/B = \{X_1, X_2, …, X_\{|U|\}\}U/B={X1,X2,…,X{∣U∣}}时，∣U∣|U|∣U∣是U元素的个数，这是知识粒度最小，为1∣U∣\frac{1}{|U|}∣U∣1，划分能力最强；当U / B = {U} ，此时知识粒度最大，为1，划分能力最弱。
| UUU | aaa | bbb | ccc | eee | fff | ddd |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
例，在上表中，U/C={{1},{2,4}{3,5}{6,7},{8,9}}U/C = \{\{1\}, \{2, 4\}\, \{3, 5\}\{6,7\},\{8,9\}\}U/C={{1},{2,4}{3,5}{6,7},{8,9}}
则C的知识粒度为：
GPU(C)=∑i=15∣Xi∣2∣U∣2GP_U(C) = \sum_{i = 1}^5\frac{|X_i|^2}{|U|^2}GPU(C)=∑i=15∣U∣2∣Xi∣2
C的知识粒度为：
GPU(C)=∑i=15∣Xi∣2∣U∣2=12+22+22+22+2292=1781GP_U(C) = \sum_{i = 1}^5\frac{|X_i|^2}{|U|^2}\\ =\frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2}\\ =\frac{17}{81} GPU(C)=i=1∑5∣U∣2∣Xi∣2=9212+22+22+22+22=8117
相对知识粒度
若U/P={X1,X2,X3,…,Xm}U/P = \{X_1, X_2, X_3, …, X_m\}U/P={X1,X2,X3,…,Xm}，U/Q={Y1,Y2,Y3,…,Ym}U/Q = \{Y_1, Y_2, Y_3, …,Y_m\}U/Q={Y1,Y2,Y3,…,Ym}，则Q相对于P的相对知识粒度为：
GPU(Q∣P)=GPU(P)−GPU(P∪Q)GP_U(Q|P)=GP_U(P)-GP_U(P \cup Q)GPU(Q∣P)=GPU(P)−GPU(P∪Q)
例如上表中的数据，条件属性集C以及决策属性图D，有：
U/C={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9}}U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}U/C={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9}}
U/C∪D={{1}{2,4}{3,5},{6,7}.{8},{9}}U/C\cup D=\{\{1\}\{2,4\}\{3,5\},\{6,7\}.\{8\},\{9\}\}U/C∪D={{1}{2,4}{3,5},{6,7}.{8},{9}}
则D关于C的知识粒度为：
GPU(D∣C)=GPU(C)−GPU(C∪D)=1781−1581=281GP_U(D|C)=GP_U(C)-GP_U(C \cup D)\\=\frac{17}{81}- \frac{15}{81}\\=\frac{2}{81}GPU(D∣C)=GPU(C)−GPU(C∪D)=8117−8115=812
GPU(Q∣P)GP_U(Q|P)GPU(Q∣P)表示了Q相对于P的分类能力。GPU(Q∣P)GP_U(Q|P)GPU(Q∣P)的值越大，表示Q相对于P对于论域U的分类能力就越强；反之，分类能力越弱。
属性重要度
内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S，U为论域，B⊆\subseteq⊆C，若∀a∈B\forall a \in B∀a∈B
则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为：
SigUinner=GPU(D∣B−{a})−GPU(D∣B)Sig_{U}^{inner} = GP_U(D|B-\{a\})-GP_U(D|B)SigUinner=GPU(D∣B−{a})−GPU(D∣B)
能力就越强；反之，分类能力越弱。
属性重要度
内部属性重要定义如下 给定了一个决策信息系统S，U为论域，B ⊆\subseteq⊆ C，若∀a∈B\forall a \in B∀a∈B
则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为：
SigUinner=GPU(D∣B−{a})−GPU(D∣B)Sig_{U}^{inner} = GP_U(D|B-\{a\})-GP_U(D|B)SigUinner=GPU(D∣B−{a})−GPU(D∣B)
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