对于金融时间序列，波动率往往具有以下特征：存在波动率聚集现象，也就是波动率一段时间上高，一段时间上低

波动率以连续时间变化，很少发生跳跃

波动率不会发散到无穷，波动率往往是平稳的

波动率对价格上升和大幅下降的反应不同，这个现象为杠杆效应

1. ARCH模型

ARCH又被称为自回归条件异方差模型。在传统计量经济学中，干扰项的方差常被设为常数，但是实际情况下这样设为常数并不是最恰当的处理方式。很多时候我们可以发现，波动常常会聚集的发生，并且asset return的方差会随着时间的变化而变化。比如说在金融危机的时刻，波动密集的发生。

对于某个asset的return我们通常可以写成一下形式，其中

我们可以认为是股票每天波动的shock，

序列不相关但也不独立，因为

取决于之前的残差

其中

表示的是在已知t-1之前的所有information后得到的残差值(

)在那个时间段的方差，是一个定值

return的平均值

对于这个模型，

就是mean-corrected的arch model，它的方差会随着时间的变化而变化。而大的扰动会倾向于引起另一个大的扰动。这和股票市场上出现的波动率聚集现象类似。

在arch模型中，假设对于error scale term

有：

所以mean-corrected series

:

note: 因为

的expected return是0，所以

从上面各式我们可以看出，

的方差是由之前数值的方差所决定。

之间虽然不相互影响，但是因为

由过去的error term来决定，所以

也不是independent series

2. ARCH(1)model

当p=1的时候

、

在时间序列分析中，我们一般是要求stationarity在整个过程中一直是成立的，也就是在long-term上的mean和variance一样。因为要不然时间序列分析就没有意义，回归和最大似然法都是建立在这个假设前提之上

所以unconditional variance:

由于variation都是正数，所以我们要求

，而如果上述情况不成立的时候，那么回归就没法达成稳定(stationarity)

同时对于return，检验它的高阶moment是否存在，对于整个return series来说，它的kurtosis：

因为

,对于conditional

,

在已知之前方差的情况下是一共已知的量，所以conditional kurtosis of

已知等于3

而对于 unonditional kurtosis of

直接引用(证明起来有点复杂所以就直接引用)：

因为我们要保证variation是positive，所以

,又因为由上述推导已知

&

,所以extra constrain applied：

已知

，所以算出

的 unconditional kurtosis:

因为

,所以

的kurtosis会大于3。所以the kurtosis of arch model with Gaussian error is in excess of a normal distribution。

3. ARCH模型估计

3.1 最小二乘法估计

一般来说都可以考虑线性回归来求相关的参数，这里的话就是(最小二乘数)minimize sum of squares

或者

，但是用这俩个式子存在的问题是要事先估计

或者

(

的方差)会随着时间的变化而变化

已知ARCH(1)中我们有：

所以minimize：

就是等于minimize

(

)

其中我们假设

为error term。对于最小二乘法求解我们通常要验证以下假设error term都是来自于一个iid的distribution，然而实际上

会随着时间的改变而发生变化

The 4th moment of the observations must exist：

must exist。但是我们看到上面

的kurtosis都存疑

而上面几个假设都是存疑的。所以线性回归估计并不是最好估计ARCH模型的方法；对于ARCH模型系数的估计，最大似然法更适用。

3.2 最大似然法估计

我们现在目前只考虑ARCH(1)模型：

所以在已知

的情况下，根据调整

和

来寻找下式的最大的情况下是多少

4. 例子分析

我们用matlab对一只stock用arch(1,1)进行模拟，我们有：

average volatility估计是：

上图中的innovation代表的

，我们之前的assumption中我们希望

是符合(0,1)的正态分布，所以上图可以表明我们的arch模型也许并不能很好的对volatility进行模拟

5. ARCH(P)模型的估计

对于ARCH(p)模型，我们需要将从1-p这一段的period的return作为初始用来预估的数据

6. ARCH model的适用情况

所以ARCH模型的目的是检测过去市场上的shock之间是否有关联，那么什么时候使用ARCH模型呢。有俩种方法，一种是我们可以对

进行ACF检测，一种是用Ljung-box test

Ljung-Box test:

note：当测试残差之间的covarince的时候，我们要调整degree of freedom。比如说用ARCH(p)模型然后测试Q(m)，degree of freedom应该用m-p

比如我们之前对模型进行检测，因为p-val都是0，所以我们可以认为过去的市场上的波动之间是存在关联的

7. ARCH模型要选择多少个lag period

我们试用AIC或者BIC来选择lag period, 我们选择当AIC/SIC出现最小的P值作为使用的lag term。

8. ARCH模型检验

因为我们之前是假设

会符合 (0,1)的正态分布，所以如果用来计算shock的arch模型是试用的话，那么：用LB-test检测

之间的相关性可以检测出mean equation：

用LB-test检测

之间的相关性可以检测出volatility equation是否适用

注意在对residual做LB test的时候，比如说如果residual是ARCH(2)中模拟出来的，那么LB test的dof应该是8

而Jarque-Bera test和qq-plots可以用来检测

分布是否属于正态分布

总结：

因为在时间序列中，return的residual并不是我们想象中的constant，所以我们试图构建ARCH模型来解释model的return。首先我们通过查看return之间的arch effect，判断是否需要用arch model可以选择ACF plot或者Ljung-Box test

观察

是不是我们预估的属于N(0，1)的分布

计算standarised residual

用ACF/ Ljung-Box test判断是否有correlation,判断 whether mean equation is well modelled

用qq-plot或者JB test判断normality如何

计算squared standarised residual

用ACF判断是否有correlation，来判断volatility whether capture by volatility equation

参考链接：