~~spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）（附模板题）

1、SPFA 算法是 Bellman-Ford算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。SPFA一般情况复杂度是O(m) 最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为O(nm)。

bellman-ford算法操作如下：
for n次
for 所有边 a,b,w (松弛操作)
dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

spfa算法对第二行中所有边进行松弛操作进行了优化，原因是在bellman—ford算法中，即使该点的最短距离尚未更新过，但还是需要用尚未更新过的值去更新其他点，由此可知，该操作是不必要的，我们只需要找到更新过的值去更新其他点即可。

2、spfa算法步骤
queue <– 1
while queue 不为空
(1) t <– 队头
queue.pop()
(2)用 t 更新所有出边 t –> b，权值为w
queue <– b (若该点被更新过，则拿该点更新其他点)

3、spfa也能解决权值为正的图的最短距离问题，且一般情况下比Dijkstra算法还好

模板

时间复杂度平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n表示点数，m 表示边数

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;queue<int> q;q.push(1);st[1] = true;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入{q.push(j);st[j] = true;}}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

题目

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出”impossible”。

数据范围
1≤n,m≤10⁵,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例：
2

AC的C++代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>using namespace std;
const int N=100010;
int h[N],e[N],ne[N],idx,w[N];
int dist[N];
bool st[N];int n,m;
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
int spfa()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;queue<int>q;q.push(1);st[1]=true;while(q.size()){int t=q.front();q.pop();st[t]=false;for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(dist[j]>dist[t]+w[i]){dist[j]=dist[t]+w[i];if(!st[j]){q.push(j);st[j]=true;}}}}return dist[n];}   int main(){cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c);}int t=spfa();if(t==0x3f3f3f3f)puts("impossible");else cout<<t<<endl;return 0;
}

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题目

AC的C++代码如下：

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