算法基础知识（考试复习）

                       ——————对于 屈婉玲 《算法设计与分析》的总结图片来自电子书或教学视频

算法的特点：

算法的特点有：有穷性、可行性、确定性、输入性、输出性。（程序可以是无穷的——操作系统）
算法的时间复杂度是对算法效率的度量。
最坏情况下的时间复杂度代表了该算法求解输入规模为n的实例所需要的最长时间W(n)；而平均情况下的时间复杂度代表了该算法求解输入规模为n的实例所需要的平均时间A(n)。

即，在数组中的情况+不在数组中的情况。

算法的数学基础：

一、函数的渐进的界

定义

注意：

f(n)=O(g(n))，f(n)的阶不高于g(n)的阶。
O与o、Ω与w的区别，O和Ω是闭区间，o和w是开区间。
由 f(n)=o(g(n)) 可以推出 f(n)= O(g(n))，但是反过来不行。类似的Ω和w也有相同的性质。
（1）和（2）要求存在一个与n无关的常数 c，所以只需要关注非常大的n满足这个不等式即可。而（3）和（4）中的 c 不是常数，它可以任意小。
如果上界与下界的阶相等，f(n)=θ(g(n))，此时f(n)与g(n)的增长仅差一个常数因子，也称作g(n)是f(n)紧的界。

下界为O(1) ——**可能是，如果不对欢迎指正鸭**

定理一

以下给出的证明：

例题： 估计函数的阶

一些重要结果

多项式函数的阶低于指数函数的阶。（两个函数相除求极限，利用洛必达法则即可证明）
对数函数的阶低于幂函数的阶。
O( logn) <O(n^1/10000000000)

定理二

函数的阶之间的关系具有传递性。

定理三

该性质可以推广到有限个函数。
算法由有限个步骤构成，若每一步的时间复杂度函数的上界都是h(n)，那么该算法的时间复杂度函数可以写作O(h(n))。

总结

估计函数阶的方法：
计算极限
阶具有传递性
对数函数的阶低于幂函数的阶，多项式函数的阶低于指数函数的阶。
算法的时间复杂度是各步操作时间之和，在常数步的情况下取得最高阶的函数即可。

几类重要的函数

一、对数函数

常用简写的符号：

性质：

证明：

性质二证明：

性质三证明：

二、指数函数于阶乘

应用：估计搜索空间的大小

m元钱、投资n个项目的分配方案数。应用组合数估计。

以上证明得 n! 与 nlog(n) 同阶。

三、取整函数

定义：

性质：

例题：按照阶排序（由高到低）

答案：

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