用Prim和Kruskal两种算法，求解最小生成树

本文通过具体的算法模板题，给出Prim和Kruskal两种求解最小生成树求解过程和代码~

由浅入深，通俗易懂

题目选自洛谷P3366

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 N,M，表示该图共有 N 个结点和 M 条无向边。

接下来 M 行每行包含三个整数 Xi,Yi,Zi，表示有一条长度为Zi 的无向边连接结点 Xi,Yi。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

输入输出样例

输入 1

输出 1

说明/提示

数据规模：

对于 20% 的数据，N≤5，M≤20。

对于 40% 的数据，N≤50，M≤2500。

对于 70% 的数据，N≤500，M≤104。

对于 100% 的数据：1≤N≤5000，1≤M≤2×10^5，1≤Zi≤10^4。

前言

两者区别：Prim在稠密图中比Kruskal优，在稀疏图中比Kruskal劣。Prim是以更新过的节点的连边找最小值，Kruskal是直接将边排序。

两者其实都是运用贪心的思路

Prim算法思想：

Prim的思想是将任意节点作为根，再找出与之相邻的所有边（用一遍循环即可），再将新节点更新并以此节点作为根继续搜，维护一个数组：dis，作用为已用点到未用点的最短距离。

具体算法流程图解如下：

优化：

但是！由于该题数据比较大，我们应该做一些优化

例如Prim可以用优先队列(也即堆)来优化算法

Kruskal算法思想：

Kruskal算法的思想比Prin好理解一些。先把边按照权值进行排序，用贪心的思想优先选取权值较小的边，并依次连接，若出现环则跳过此边继续搜，直到已经使用的边的数量比总点数少一即可。

具体算法流程图解如下：

优化：

但是！由于该题数据比较大，我们应该做一些优化

例如Kruskal可以用并查集优化一下

Prim解题代码：

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define R register int
using namespace std;int k,n,m,cnt,sum,ai,bi,ci,head[5005],dis[5005],vis[5005];struct Edge
{int v,w,next;
}e[400005];void add(int u,int v,int w)
{e[++k].v=v;e[k].w=w;e[k].next=head[u];head[u]=k;
}typedef pair <int,int> pii;
priority_queue <pii,vector<pii>,greater<pii> > q;void prim()
{dis[1]=0;q.push(make_pair(0,1));while(!q.empty()&&cnt<n){int d=q.top().first,u=q.top().second;q.pop();if(vis[u]) continue;cnt++;sum+=d;vis[u]=1;for(R i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)if(e[i].w<dis[e[i].v])dis[e[i].v]=e[i].w,q.push(make_pair(dis[e[i].v],e[i].v));}
}int main()
{memset(dis,127,sizeof(dis));memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%d%d",&n,&m);for(R i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&ai,&bi,&ci);add(ai,bi,ci);add(bi,ai,ci);}prim();if (cnt==n)printf("%d",sum);else printf("orz");
}

Kruskal解题代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX_N 5000+5
#define MAX_M 200000+5
struct edge{int u,v;int w;
}E[MAX_M];
int f[MAX_N];
int n,m;
bool cmp(edge a,edge b){return a.w < b.w;
}
void init(){for(int i=1;i<=n;i++) f[i] = i;
}
int find(int x){if(f[x] == x) return x;return f[x] = find(f[x]);
}
void merge(int x,int y){f[find(x)] = find(y);
}
int Kruskal(){int ans = 0, cnt = 0;init();sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i = 1;i<=m;i++){if(cnt == n-1) break;if(find(E[i].u) != find(E[i].v)){merge(E[i].u,E[i].v);ans += E[i].w;cnt++;}}if(cnt != n-1) return 0;return ans;
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);int ans = Kruskal();if(ans) printf("%d",ans);else printf("orz");return 0;
}

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