Chapter 10 Multi-Level Logic Synthesis

10.1 Introduction

一个SOP F = xz + yz的电路如下图所示是两级的。

而multi-level是从左边输入到右边输出存在多级的路径，如下图。好处是通常面积较小，功耗低。实际应用中大型的design几乎都是multi-level的。

10.1.1 Networks and Algebraic Operations

最常见的multilevel logic模型是bool网络，本质上是一个有向图，每个节点是一个bool表达式。

节点z1和z2是bool网络的primary outputs(Po)，节点x1，x2，x3，x4，x5，x6是bool网络的primary inputs(PI)。内部各个节点的bool表达式为

这里我们并没有对节点表达式的形式做任何限定，是最通用的模型。在具体的建模中，我们可以限定节点表达式形式为与门，或门，BDD，AIG，SOP，......。

下面是两个multi-level circuit，可以视为一个bool网络。

左右的bool表达式分别为

从左图到右图实际上是一种结构上的restructuring，对应到表达式就是把公因子c提取出来。当让，factorization的方法不知一种，比如 f 还可以factor成

通常情况下，我们会对factoring的类型进行限制。在本章中，我们对bool表达式的factoring操作都限定为algebraic。Algebraic的定义并不是特别严密，主要是区别于Boolean，意思是我们所作的运算局限于实数多项式领域。可以这样理解

我们一定要记住上述区别，否则无法理解本章余下的内容。不严格地说，我们是对bool表达式进行多项式因式分解。显然，f = c(a+b) + ad就符合这个约定，而 f = (a+bc)(c+d) = ac + ad + bc.c + ad = ac+2ad+bc.c就不符合这个约定，因为我们无法利用多项式领域的运算将 f = (a+bc)(c+d)转换回 f = ac + bc + ad。

在multilevel logic的领域，我们还必须要有一个观念上的改变。对于 f = ac + bc + ad，我们之前的理解为三个cube ac,bc,ad的和。在本章中，我们将 f 视为三个cube 的集合 {ac，bc，ad}。同时我们将cube ac 视为2个literals的集合{a，c}，cube bc 视为......

10.2 Representation Issues and Choices

10.2.1 Alternate Node Representations

boolean网络中每个节点的表达形式可以有很多种。

1 SOP---sum of products

2 Factored forms

本章最重要的表示方式，直观上看，是用括号嵌套的表达式

Factored form有一个很好的特性-------取反之后literals的数目不变，如

左右的literals数目都是5。所以，我们认为一个factored form同时表示F和F‘(inverter的代价可忽略不计)。

3 NAND or NOR Representations-------限定节点function为NAND或NOR

10.3 Representing Switching Functions in Factored Form

10.3.1 Factored Forms

一个product可以视为terms为1的sum，factored form可以理解为sum of product的扩展，只不过product被递归定义为factored forms的乘积。并且一个single literal也是一个factored form。比如下面这些表达式都是factored form：

但是下面这个就不是，因为一个括号是一个factored form，但是定义中没有说可以对factored form取反，是不是？注意 $a'$ 本身是一个literal，不是对literal a的取反。

10.3.2 Algebraic and Boolean Expressions

a+bc是algebraic expression的，但是a+ab不是algebraic的。Why？假设我们对a+ab提取公因子会得到a(1+b)。如果按照bool操作，1+b = 1，但是按照代数操作，没有这种优化。所以应该这样理解，如果一个表达式的优化涉及bool操作，则这个表达式就不是代数的。

可见support是忽略取反的。

10.3.3 Algebraic and Boolean Factored Forms

一条简单的判别规则，我们把factored form按照代数操作展开，如果结果是代数表达式，则factored form是代数的，否则为bool的。

10.3.4 Value of a Factorization

其实factorization value就是原始sop的literals数目减去factored form的literals数目，换句话说，就是factoring节省的literals数目。比如

如果选取G1 = a + bc + bd，G2 = e + f + g，则R=0，F = (a + bc + bd) (e + f + g)。从而FACT_VAL(F,G2) = 24 - （5 + 3） = 16。书中用了一种别扭的计算方式FACT_VAL(F,G2) = 2 * 3 + 2 * 5 = 16。我们解释以下2*5是怎么来的，2*3与之类似。我们观察(a + bc + bd)的literals数目为5，在factored form，a+bc+bd只计算了一次，而如果展开成的话，会被计算三次------(a+bc+bd)*e + (a+bc+bd)*f + (a+bc+bd)*g，所以相当于减少了5*(3-1) = 2*5个literals。

10.3.5 Equivalent, Maximal, and Optimum Factorizations

Forctored form可以表示为一棵factoring tree，如下图

看两个例子

这两个都不是maximally factored的。这两者一个为sum of products，一个为products of sums，都含有一个公因子a，所以都可以提取公因子：

需要注意的是后一个提取公因子用到了“+” distributes over “.“，这个是bool操作非代数操作。今后如果我们的factoring操作限定在代数领域，则不会考虑后面一个提取公因子操作，因为这种情况根本不会出现。比如代数领域可能出现(a+b)(c+d)，但是绝不会出现(a+b)(a+c)。所以我们在判断是否为maximally factored的时候，不需要考虑product of sums的terms之间是否存在公因子，即不用考虑Definition 10.3.6的第二种情况。

这个很显然。比如我们要判断F = (ab + ac + cd)(e+f) + gh是否为maximally factored，递归步骤(实际为倒序，因为是postorder)为

1 判断sum terms (ab+ac+cd)(e+f) 和 gh之间是否有公因子

2 无需判断product terms (ab + ac + cd) 和 (e+f)之间是否有公共因子

3 判断sum terms ab，ac，cd之间是否有公因子，如果有说明不是maximally factored的，可以进一步进行factoring

10.3.6 Size, Unateness, and Cofactors of a Factored Form

Size和Unateness的定义很简单，一看便知。

Cofactors要注意 $F_l$ 和 $F_{l'}$ 的区别。 $F_{l'}$ 是令 $l'=1\ and\ l = 0$ ，与 $F_l$ 正好相反。

10.4 Division

Division就是想法子把f表示成f=pq+r。

第三章曾经讲过canonical form的概念，f(0,0,...,0), f(0,0,...,1), ..., f(1,1,...1)被称为discriminants，对应于真值表的每一行。我们可以通过discriminants来理解上述命题。不考虑don't cares，我们把f的dricriminants分为两部分，ONSET(f)------输出为1的discriminants集合，OFFSET(f)------输出为0的discriminants集合。由于 $f\leq g$ ， $ONSET(f) \subseteq ONSET(g)$ ，由于f = g.h， $ONSET(f) = ONSET(g) \cap ONSET(h)$ ，所以 $f \leq h$ 。为了证明 $h \leq f + g'$ ，有人可能会想对f=g.h两边取反，有f'=g'+h' => h' = f'-g' = f'g => h = f + g'。为什么是等号？原因在于，我们不可以对bool等式随便做移项操作。比如 a - b = c并不能推导出a = b+c。正确的证法是由于f = gh，两边同时与上f'，有ghf’ = ff' = 0。这意味着ONSET(h)与ONSET(gf')不相交，因此一定有 $ONSET(h) \subseteq OFFSET(gf') = ONSET((gf')') = ONSET(f + g')$ ，从而可以得出 $h \leq f + g'$ 。

证明是类似的，都是从集合的角度来处理与，或，非，差等操作，画个韦恩图就清楚了。

简单地说，能整除的就是factor，不能整除的就是divisor。

其实就是用集合的观点来理解product。对于product of tow cubes，想象一下 ab * cd = abcd 和 ab * a'c = 0就能理解了。Product of SOP与之类似。

这个很好理解。(a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd就是代数积，而(a+b)(a+c) = a + ab + ac + bc就是布尔积。如果factoring限制在代数领域，boolean product是不可能出现的。比如我们不会对a+ab+ac+bc做factoring，而是先变成a+bc，再进行factoring。当然a+bc没法进一步进行factoring，只是举个例子。Algebraic product保证了无论是计算因式乘积展开，还是因式分解，都不会涉及bool操作。

基本定义，无需解释。需要注意的是，对于一个表达式而言，boolean divisor的数量要远远多于algebraic divisor的数量，所以我们做factoring的时候通常选择algebraic division。Weak division是algegraic divsion的一种，基本对应于多项式的除法。

定义不重要，重要的是如何进行weak division。

本质上就是多项式除法，没什么难度。具体伪代码如下

、

10.5 Kernels and Co-Kernels

简单地说，cube-free就是不能被abc这种没有”+“的single cube整除。

F = abc + abd + ef = ab(c+d) + ef = a(bc+bd) + ef，则c+d和bc+bd都是primary divisors，但是只有c+d是kernel。Kernel一定是cube-free的。而用于获得kernel c+d的cube ab被称为co-kernel。举例说明

相应的kernels和co-kernels为

Kernel的level是什么呢？不严格的简单方法就是括号嵌套的层数。严格的定义为

这个定理是说如果F和G的任意一对kernel之间，最多只有一个term是相同的。那么F和G之间没有共同的nontrivial algebraic divisors。比如 F = (a+b+c)opq + R1, G = (a+b+d+e)xyz + R2，二者level 1 的kernels分别为F和G本身，没有公共的terms。Level 0 kernels分别为a+b+c 和 a+b+d+e，有公共的terms a和b，所以F和G用公共的divisor (a+b)。 F = (a+b)opq + copq + R1, G = (a+b)xyz + (d+e)xyz + R2。但是如果F= (a+g)opq + R1, 则F与G之间只有一个公共的trivial algebraic divisor a。

本章基本没有用这个定理。

10.5.1 Computation of Co-Kernels and Kernels

为了求出SOP F的所有kernels和co-kernels，我们先要计算一个cube的集合C*。C*中的元素是F的任意两个cube的交集。比如abc和bcd的交集是bc。任取 $c_i\in C^*$ ，计算 $K_i = F/c_i = WEAK\_DIV(F,c_i)$ ，则 $c_i \ and \ K_i$ 是一对co-kernel 和 kernel。这样求出的kernels会包含所有的level 0 kernels，也可能包含一些高阶的kernels。这个很好理解，如果一个kernel K是0 level的，则F = cK+R，其中c是single cube，并且K中包含2个或2个以上terms，并且任意两个terms不会有single cube的公因子，否则就可以进一步factoring，不是level 0。比如K = ab + de + fg，则F = c(ab + de + ef) + R, 显然c是cab和cde的交集，属于C*。因此上述方法可以求出所有的level 0 kernels。

一种系统地求出C*的方法为cube intersection table。比如

相应的cube intersection table为

表中每个非零项都是C*中的一个元素。注意C*中包含了所有level 0 co-kernel，但是未比能包含所有的co-kernel。如果我们想求出所有的co-kernels和kernels，需要对上面的cube intersectioin table进一步扩展，多加一些行和列，分别对应原表中那些不是single literals的元素，如abc，abd，abe...，并且这些元素不能与原来的行和列重复。如果原表元素代表了F中任意两个cube的交集，则扩展表代表了F中任意三个cube的交集。之所以排除single literal的元素原因很简单，如果两个cube的公因子为一个literal，它们在于其他cube的交集最多也是这个literal，不会产生新的元素。扩展的cube intersection table如下

这个扩展的过程可以一直进行下去，直到没有新的co-kernel产生。

10.6 Heuristic Factoring Algorithms

10.6.1 Generic Factoring Algorithm

上图是将表达式F写成factor form的算法框架。如果F没有factor，即提取不出公因子，则立刻返回F。否则通过DIVISOR辅助函数返回F的一个除数D，再通过辅助函数(可以理解为除法定义)DIVIDE求出商Q和余数R，使得F=QD+R。然后递归地分别求Q，D，R的factor form。最终F的factor form为F=FACTOR(Q).FACTOR(D) + FACTOR(R)。不同的DIVISOR和DIVIDE形成了不同的factor算法。其实算法中涉及的运算可以是bool的，也可以是代数的。本章采用的是代数运算，因为比bool运算更加简单，涉及的divisor和factor更少。

上图这个例子，P是算法里某步求出的部分factor form， O是算法求出的最终factor form。显然必须F=Q=O。但是显然O可以进一步化简为最优的factor form --- a(b(c+d)+e+f)+g，但是Generic Factoring算法却得不到这个最优的解。为什么呢。我们观察Q和R，发现Q是一个single cube，而这个single cube中的某个/某些literals a 同时也存在于R中。这就使得最终的O可以继续对a进行公因子的提取，进行化简，但是Generic Factoring 算法却错过了这个操作。因为该算法是对Q，D，R分别递归做Factor操作，却无法进行Q，D，R之间的因子提取。

为了解决这个问题，需要对GF算法稍作修改。如果Q是single cube，且某些literals同时出现在R中的时候。我们比较Q中的各个literal，选取一个在F的每个term中出现最多的literal Q1。令Q=Q1.Q2。我们计算F/Q1，得到一个新的Divisor D1，从而F=Q1.D1 + R1。我们进行如下变换

$F = QD + R = Q1.Q2.D + R = Q1(Q2D + X) + Y = Q1D1 + R1$

可以看出，D一定是D1的一个Divisor。从而当我们对D1进行递归factoring的时候，会重新遇到D。还有，D1=Q2D + X，R1 = Y， Q1X + Y = Q1X + R1 = R。

这个引理是说上述把F=QD+R调整成F=Q1D1+R1的方法得到的factor form是maximally factored的。其实我们还要假定一个前提，就是D是cube-free的，引理才成立。令D1 = cD2，其中c是D1中所有terms的common cube，则D2是cube-free的，并且F=Q1cD2+R1。显然，R1中没有Q1出现，否则相应的terms都应该已经被合并到D1中了。

由于cD2 = D1 = Q2D + X。D1是一些terms的和，这些terms是由Q2.D中的那些terms和X中那些terms的和。可以看出c中每个literal都一定在Q2中。否则，设此literal为t，则t是Q2D中那些terms和X中那些terms的一个公共cube。由于c不在Q2中，则c一定是D中那些terms的一个公共的cube，这与D是cube-free相矛盾，从而c一定是在Q2中，从而也在Q中。那么进一步，Q1.c 一定是Q=Q1.Q2的一个factor(factor和divisor的区别在于是否整除)。从而D2一定包含了D，即D是D2的一个divisor，D2 = mD + nb。

此外c中没有literal会在R1中，否则设该literal为t，则t在Q中。对于F中那些Q1出现的那些terms，t必然也出现在其中（Q1cD2）。同时，若t也出现在R1中，则F中包含t的terms的数目大于包含Q1的数目，所以我们当初就不应当选Q1，而应该选t，出现矛盾。因此得证。

我们在来看看c，c中没有literal在R1中，Q1同样不在R1中，所以我们可以用c中的任意一个literal替换。换句话说，如果c不为1，则Q1的选择不唯一。

现在我们来证明D2不是R1的一个divisor，更不可能是R1的一个factor。由于D2 = mD + n，如果D2是R1的divisor，即R1 = kD2 + f = kmD + kn + f，则F = Q1cmD + Q1cn + kmD + kn + f。显然F/D的商Q = Q1cm + km 不是一个cube。这与Q为single cube的假设矛盾，从而得证。

观察F = Q1cD2 + R1，可知有两个sum term---Q1cD2 and R1。前者有三个factor，每一个东不可能是R1的factor，所以二者没有common factor。也就是说两个sum term之间没有common factor。此外我们观察Q1cD2这个product，有三个product term，Q1，c， D2。还记得我们的运算是代数的，不是bool的么。Porduct term之间的factor不用考虑，因为在代数领域，没有（h + i) (h + j) = h + ij这种化简。即使（h+j) 和 (h + i)有common factor h，我们也不会把它提取出来，自然也就不将其作为maximal factored form的判定标准了。所以我们假定prodcut terms之间没有common factor。也可以这样理解，（h + i) (h + j) = h * h + hi + hj + ij，这个表达式根本不是代数的，因此这种形式的product不会出现在对F求factor form的过程中。还记得么，本章我们的运算都是代数的。

我们再看一个例子。

可以看出，O的两个sum terms有公共的factor (c+d)，可以进一步化简为(c+d)(e(a+b)+f)，所以O不是maximally factored的，当然也不可能是最优的。经过观察，可以发现问题在于Q和R有公共的factor (c+d)。类似于前面的例子，我们对Q进行调整，把Q变成一个cube-free的Q1。这样F/Q1就可以得到一个新的divisor D1。以这个例子而言，可以令Q1=c+d，从而D1 = ea+eb+f。

如果D1是cube-free的，像这个例子一样，令F=Q1D1 + R1为一个partial factored form，我们可以继续递归地对Q1，D1，R1进行factor操作。
如果D1不是cube-free的，则D1=cD2， c是一个cube。此时，F = Q1cD2 + R1。再令D3 = Q1.D2，Q3 = c，则F=Q3D3 + R1。这是不是正好是前面一个例子的情形。我们类似地从Q3中挑选出一个在F的terms中出现最多的一个literal作为Q4，......

对上述过程，我们有如下引理

当D1是cube-free的时候。Q1是我们对Q做cube-free得到了，所以Q1是Q的一个factor，从而Q=Q1.Q2. F= QD + R = Q1Q2D + R = Q1(Q2D + X) + R1 = Q1D1 + R1。显然Q1不可能是R1的divisior，因为R1是F除以Q1的余数。Q1不是R1的divisior，当然更不可能是R1的factor了。 D1也不可能是R1的factor。否则R1 = KD1 = K(Q2D+X)。进而F = Q1(Q2D + X) + K(Q2D + X)。那么F/D的商应该是Q1Q2 + KQ2 = Q + KQ2 != Q，矛盾。所以在第一种情况下，引理成立。
当D1不是cube-free的时候。F= cD3+R1 = Q3D3 + R1。这种情形在前一个引理中已经证明过了。

现在我们给出细化后的factor算法

首先我们看看函数GEN_FACTOR，F一定是SOP形式的代数表达式。Divisor和Divide是两个辅助函数，一个用来选择除数D，一个用来进行除法运算。如果Divisor(F)为空集，说明根本找不出一个除数，F没办法继续进行factor操作，直接返回F。否则，(Q,R) = Divide(F,D)，F = QD + R。如果|Q| = 1，即Q是一个single cube，则调用LF函数。该函数是专门处理当Q为single cube的时候，对于F的factor操作。如果Q不是single cube，我们令Q = MAKE_CUBE_FREE(Q)。如果Q本身是cube-free的，MAKE_CUBE_FREE不做任何操作，否则，MAKE_CUBE_FREE会根据Q返回一个cube-free的factor，比如如果Q = ab + ad，我们可以令MAKE_CUBE_FREE返回b+d。有了新的Q，我们计算(D,R) = Divide(F,Q)，得到一个新的除数D和新的余数R。如果D是cube-free的，我们只需对Q，D，R递归调用GEN_FACTOR，返回maximal factored form即可。否则，我们提取D中terms的common factor C = COMMON_CUBE(D)。由于C一定是single cube，我们进而调用函数LF，返回maximal factored form。

现在我们来看看函数LF，C是一个single cube，即形式为abcd而不是ab+cd的表达式。首先，选取C中的一个literal $l$ ，该literal在F的terms的出现的次数最多。我们计算(Q,R) = DIVIDE(F, $l$ )，则F = $l$ .Q + R。值得注意的是，对照我们前面的引理， $l$ 的角色其实是商，Q的角色实际divisor。但是并不重要，商和除数可以互换的。接下来我们对Q和R递归调用GEN_FACTOR，最后返回F的maximal factored form。

该定理其实就是说如果我们将DIVIDE指定某种代数除法，则GEN_FACTOR返回的是F的maximal factored form。

有了前面两个引理，这个定理的证明很显然。唯一要说明一下的是什么叫做the factored form is maximal at this level。F = QD + R，记住在当前的level，F一定是SOP，而且我们还没有对Q，D，R递归调用factor操作。因此，Q，D，R本身应该也是SOP形式。如何判断F在当前level是不是maximally factored的呢？现在F有两个sum term QD和R。F如果是maximally factored的，QR和R不会有相同的factor。QR是product形式的，有两个factor Q和R。如果我们没有办法把R写成product的形式，使得R的某个factor是Q或R，则QD和R就不会有相同的factor。从而在当前level，F是maximally factored的。举个例子，假设F = QD + R =（a+b)(c+d) + af + bf = (a+b)(c+d) + a(f+g) ，则F在当前level就不是maximally factored。但是我们看R=af + ag，显然R本身不是maximally factored的，因为af和ag有common factor。但是我们分析F的时候不会去理会R是不是maximally factored，因为这已经是next level，我们递归调用GEN_FACTOR(R=af+ag, DIVISOR, DIVIDE)的时候才会考虑。

10.6.2 Quick Factor

不同的DIVISOR和DIVIDE的选取，可以得到不同的factor算法。本小节介绍Quick Factor算法。该算法的DIVIDE操作选取的前文所述的weak division，DIVISOR的算法为下图中的QUICK_DIVISOR。

让我们看看QUICK_DIVISOR函数，如果|F| <= 1，意味着F是single cube或者是常数。比如F = abc，是没有办法通过factoring来减少literals的个数的。因此返回空集，表示factor过程的结束。如果F中每个literal只出现一次，也返回空集。比如F = ab + cd +ef，每个字母都只出现了一次。这个时候我们是没有办法对F进行提取公因子的操作，换言之，没法进一步进行factoring，因此只能返回空集。再比如F = ab + ac + de，a出现了两次，则F = a(b+c）+ de，可以继续factor。这个时候就要调用函数ONE_LEVEL_0_KERNEL。

顾名思义，ONE_LEVEL_0_KERNEL是返回F的一个level 0 kernel。SOP就是level 0 kernal，比如a + b。而(a+b)(c+d) + ef就是level 1 kernel。不严格地说，可以通过括号嵌套的数目来判断level。如果F中每个literal只出现一次，我们同样返回空集(其实没必要，这种情况根本不会call ONE_LEVEL_0_KERNEL)。如果某个literal在F中出现多于两次，比如F = abc + abd + ef，则令F = F/a = bc + bd, 然后再令F = MAKE_CUBE_FREE(F) = c + d. 最后递归调用ONE_LEVEL_0_KERNEL( c+d )。由于c+d没有重复的literal，最终返回的divisor就是c+d。

还记得我们前面证明那两个引理的时候说过，有一个前提是要求divisor为cube-free。注意到QUICK_DIVISOR的返回值要么是某个F的某个level 0 kernel，要么是空集。而kernel一定是cube-free的，这正好和引理的前提相契合。

10.6.3 Good Factor

QUICK_FACTOR只在0-level kernels中选一个作为divisor，所以可能错过更好的divisor。GOOD_FACTOR会在所有的kernels选取最好的一个作为divisor。但是怎么选取书中没有描述，可见就是介绍一下，无需了解。

10.6.4 Boolean Factor

Boolean Factor主要是用boolean division替换weak division，效果比good factor 和 quick factor都要好，但是耗时长。其他细节啥也没有，除了提及一篇经典论文MIS: A Multiple-Level Logic Optimization SystemMIS: A Multiple-Level Logic Optimization System。我个人推荐应该看一下。

10.7 Decomposition and Restructuring

10.7.1 Algebraic Resubstitution

啥意思， $F_i \ and \ F_j$ 是布尔网络中的两个节点。我们希望用 $F_j$ 来替换 $F_i$ 的部分逻辑，这相当于让 $F_i$ 共享 $F_j$ 的逻辑，从而减少literals。把这部分共享逻辑从 $F_i$ 剥离出来的一种最直接的方法就是weak division，令 $F_j$ 为除数，有 $F_i = QF_j + R$ ，可见 $F_i$ 的一部分逻辑已经被换成了 $F_j$ 。可我们很贪心，希望用 $F_j$ 替换更多的逻辑。显然，我们只能在R身上打主意，但是 R里面一定不包含 $F_j$ ，我们没法从R中提取出共享 $F_j$ 的逻辑，这要如何解决呢。我们同样对R进行weak divide，但是除数选择 $F_j^{'}$ ，有 $R = Q_CF_j^{'} + R_C$ 。 $F_j^{'}$ 其实就是对 $F_j$ 取反(德摩根律)。书中说 $F_j^{'}$ 不同于对bool函数 $F_j$ 取反，其实和本节关系不大。这里 $F_j$ 可以视为完全限定的bool函数，即不包含don't care项的bool函数。举例说明一下，如果有个bool表达式为 F = ab + cd，我们将其视为一个bool函数的完全限定的部分。现在我们假设在某个应用中，该布尔函数在输入a=c=1的时候，不关心输出的值到底是什么。那么ac就是don't care项。我们认为bool函数可以用F = ab + cd表示，也可以用F=ab + cd + ac来表示。所以bool函数的取反要考虑don't care项的影响。但是这里我们认为F都是完全限定的bool函数，无需考虑don't care项。言归正传，为什么我们要用R除以 $F_j^{'}$ 呢？这不是用 $F_j^{'}$ 替换R中的部分逻辑么，和共享 $F_j$ 的逻辑有什么关系呢？这个就是factored form的好处了， $F_j$ 和 $F_j^{'}$ 的复杂度是一样的，或literals数目是一样的。如果我们用数据结构来表示 $F_j$ 和 $F_j^{'}$ ，两者相差可能就是一个flag来指示是否取反，其他逻辑完全一样。在物理上的实现，也不过差了一个inverter。因此，共享 $F_j^{'}$ 等价于共享 $F_j$ 。

让我们看个例子，了解一下Resubstitution到底是怎么回事。假设一个bool网络有两个节点i和j，相应的covers或表达式为

数一下， $F_i$ 一共包含了17个literals。应用Resubstitution之后，有

现在只有9个literals。在 $F_i$ 中，ab+c已经替换为 $F_j$ 。由于 $F_j$ 是bool网络中已经存在， $F_i$ 无需再重复实现这部分逻辑，因此共享之后，该部分逻辑等价于一个single cube cover，而不再是一个two cubes cover ab + c。

在了解了resubstitution之后，我们还有一个问题，那就是是否要对bool网络中所有的节点对都做这种操作。答案是否定的。比如 $F_i = a + b\ and\ F_j = c + d$ ，那么我们根本没有必要进行weak divide的尝试，因为不可能将 $F_i$ 分解为 $F_i = QF_j + R$ 。由此可见，我们可以通过指定一系列的过滤规则，来减少不必要的尝试：

1 $F_i = a+b$ 的fanin就是a和b。所以这条的意思就是如果 $F_i$ 和 $F_j$ 的fanins没有交集，则不做resubstitution。

2 $F_i$ 和 $F_j$ 的literals必须相同，否则，对如 $F_i = a + b \ and \ F_j = b + c$ 之类的节点对，不做resubstitution。

3 显然a+b除以a+b+c没有意义。

4 如果 $F_j$ 的某个literal a出现的次数超过了 $F_i$ ，那么 $F_i = QF_j + R$ 无法成立。

5 如果已经有 $F_j = QF_i + A + B$ ，计算 $F_i / F_j$ 就没有意义，到那时可以计算 $F_j/F_i$ 。

6 在有的应用中，我们不希望 $F_i / F_j$ 的商是一个single cube，即排除Q=abc， $F_i = abcF_j + R$ 这种情况。如果 $F_j$ 的某个literal a出现的次数等于 $F_i$ ，则 $F_i / F_j$ 的商不可能是一个multiple cubes，最多是一个single cube，我们不做resubstitution。比如 $F_i = (x+y)F_j + R= (x+y)(ab + c) + R$ ，如果 $F_i$ 中a出现的次数也是1，则无论如何上述等式不能成立。

注意，resubstitution和factoring算法虽然都是用了weak division，但是是有区别的。

1 目的不同。factoring是将sop拆成factored form，减少literals。resubstitution是共享节点之间的逻辑，减少bool网络总的literals。

2 resubstituion的除数是bool网络里的某个节点的表达式，而factoring的除数是根据F本身得到的某个cube-free表达式，通常是kernels。

10.7.2 Selective Node Elimination

Node Elimination类似于resubstitution的逆操作。例如

$F_i = AF_j + BF_j^{'} + C$ （1）

$F_j = de + fg$

$F_i$ 是 $F_j$ 的一个fanout，node elimination首先将 $F_j$ 代入 $F_i$

$F_i = A(de + fg) + B(d'+e')(f' + g') + C$ （2）

如果bool网络中 $F_j$ 还有其他的fanout，也做类似的代入处理。最后， $F_j$ 在bool网络中已经没有存在的意义，可以删除。这个过程就是node elimination。做node elimination的主要目的有

1 减少bool网络的层级，减少时间延迟

2 多级bool逻辑优化是启发式算法，不能保证一次就能达到满意的效果，通常是一个反复迭代的过程。Node elimination可以让优化过程尝试不同的factoring或者resubstitution策略。

不是所有的节点都能进行node elimination。以式(1)和(2)为例，(1)中literals的数目为9，(2)中literals的数目为11。由此可见node elimination有可能增加bool网络的literals个数(当然也可能减少，比如令 $F_j = de$ )。我们假设 $F_j$ 的第i个fanout $F_i$ 表达式中， $F_j$ 出现的次数(包括 $F_j'$ )为 $n_i$ ，那么对于 $F_i$ 而言，代入 $F_j$ 之后literals增加的数目为 $n_i(L_j-1)$ ，其中 $L_j$ 为 $F_j$ 的literals数目。容易得出，对 $F_j$ 进行node elimination之后，整个布尔网络的literals变化为

如果 $e\_value_j$ 的值小于某个阈值v，则对 $F_j$ 进行node elimination。否则，说明删除 $F_j$ 会使得bool网络的literals增加过多，得不偿失。

10.7.3 Extraction

本质上就是把factoring，resubstitution，node elimination合在一起对bool网络进行操作。

QUICK_DECOMPOSITION其实就是factoring在实际bool网络中的应用。比如 $F_i = ab + ac + d$ QUICK_DECOMPOSITION会在bool网络中创建一个新的节点 $F_j$ ，并更新 $F_i$ 的表达式：

$F_j = b+c$ ； $F_i = aF_j+d$ ；

接下来，Extraction进行resubstitution操作。然后删除那些表达式为单个literal的节点，如 $F_j = g$ ，因为删除该节点不会增加literals。最后还要删除那些 $e\_value$ 小于某个阈值的节点。让我们看个例子

上面两个节点一共有27个literals(看等式右边)。

1 QUICK_DECOMPOSTION，应用factoring算法，得到

其中 $O_1\ and\ O_2$ 是更新后的 $F_i$ 和 $F_j$ ，其他的表达式为新增的节点。可以看出，网络中一共有18个literals。

2 对 $X_1\ and\ X_2$ 做resubstitution，得到 $X_1 = X_2$ ，然后对 $X_2$ 做node elimination。

3 对 $Y_2$ 进行node elimination。

一共15个literals。

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