常用的数量统计量的计算及统计意义

数量统计量是只适合数量类型数据的统计量，使我们最常见的统计量。笔者之前对资料特征数的计算作了简单地介绍，详情可跳转至资料特征数的计算，本篇博客力求全面和简洁易懂。

对于数量类型的数据样本 X1,X2,⋯,Xn，X_1, X_2, \cdots ,X_n ，其数量统计量定义如下：

均值（Mean）

X⎯⎯⎯=1n∑n1Xi\overline X = \frac{1}{n}\sum_1^nX_i
很简单，用来描述数据取值的平均位置。
方差（Sample Variance）

S2n=1n−1∑(Xi−X⎯⎯⎯)2S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline X)^2
至于为何分母为 n-1，同样点击传送门：资料特征数的计算。
标准差（Standard Deviation）

Sn=1n−1∑(Xi−X⎯⎯⎯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√S_n=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline X)^2}
标准差在数值上等于方差的开平方，他们都是用来反应数据取值的离散（变异）程度的。标准差的量纲与数据的量纲相同。
变异系数（Coefficient of Variation，CV）

CV=SnX⎯⎯CV=\frac{S_n}{\overline X}
标准差与均值的比值成为变异系数。它是一个无量纲的量，用来刻画数据的相对分散性。
标准误（Standard Error）

1n−1∑n1(Xi−X⎯⎯)2√n√=1n(n−1)∑n1(Xi−X⎯⎯⎯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√\frac{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_1^n(X_i-\overline X)^2}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_1^n(X_i-\overline X)^2}
标准误是由样本的标准差除以样本个数的开平方计算得到的。标准误代表的就是样本均数对总体均数的相对误差。
偏度（Skewness）

skewness=n√∑n1(Xi−X⎯⎯)3[∑n1(Xi−X⎯⎯)2]32skewness=\frac{\sqrt{n}\sum_1^n(X_i-\overline X)^3}{[\sum_1^n(X_i-\overline X)^2]^\frac{3}{2}}
偏度是用来刻画数据对称性的指标。关于均值对称的数据，其偏度系数为0；若左侧数据比较分散，则偏度系数小于0；若右侧数据比较分散，则偏度系数大于0。

在图像上的差别为：正态分布的偏度为0，如果 skewness>0 代表波形有右侧长尾（正偏），如果 skewness < 0 代表波形有左侧长尾（反偏）。图像如下（左图为反偏，右图为正偏）：

在 MATLAB 中对应的函数即为 skewness().
峰度（Kurtosis）

kurtosis=n∑n1(Xi−X⎯⎯)4[∑n1(Xi−X⎯⎯)2]2−3kurtosis=\frac{n\sum_1^n(X_i-\overline X)^4}{[\sum_1^n(X_i-\overline X)^2]^2} - 3
峰度可以描述样本数据分布形态相对于正态分布的陡峭程度。
- 若 Kurtosis=0，则与正态分布的陡峭程度相同；
- 若 Kurtosis>0，则比正态分布的高峰更加陡峭，表现为尖顶峰；
- 若 Kurtosis<0，则比正态分布的高峰显得平缓，表现为平顶峰。
在 MATLAB 中对应的函数即为 kurtosis().

偏度与峰度可以用来描述样本数据分布形状，如果是正态分布，那么偏度为0，峰度也为0.

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