杭电 2544 最短路（bellman详解）

首先介绍一下bellman算法：

Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行持续地松弛（原文是这么写的，为什么要叫松弛，争议很大），每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个标识flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做没有必要的松弛，而SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

bellman的核心代码如下示例：

n,m分别代表点的个数和边的条数.

     for(int k=1;k<=n-1;k++)//遍历点的次数{for(int i=1;i<=m;i++)//遍历边的次数{if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//如果从u到v的距离能够通过w这条边压缩路径 就要进行松弛操作{dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];}}}

两个for循环注定比弗洛伊德的复杂度低效率会更高 .这时候我就想问了为什么一定是经过k-1轮次的操作呢~？

为啥不是k-2或者更少呢？

这里就要考虑最坏的情况了~.如果需要松弛操作的地方比较多那么松弛的轮数也会随之增加 .

但是并不是所有情况都需要k-1轮操作那么如何优化算法呢？

这个时候算法大牛说话了：如果在当前一轮的操作中没有经过松弛操作那么这个时候就已经不用继续松弛了~

所以就有了如下代码~；

        for(int k=1;k<=n-1;k++){check=0;//用check检查是否进行下一轮次的操作for(int i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];check=1;}}if(check==0)break;}

这里要注意

                if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//如果从u到v的距离能够通过w这条边压缩路径 就要进行松弛操作{dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];}

这只是在改变单源路径的权值.

只是在改变从u到v的权值

所以如果我们遇到的题目是无向图如2544（杭电）就需要如下代码来完成操作：

        for(int k=1;k<=n-1;k++){check=0;for(int i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];check=1;}if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i]){dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i];check=1;}}if(check==0)break;}

这个时候这个题的主体算法就呈现出来了这里贴上完整代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int dis[121212];
int u[121212];
int v[121212];
int w[121212];
int main()
{int n,m;int check;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){if(n==0||m==0)break;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=0x1f1f1f1f;}dis[1]=0;for(int k=1;k<=n-1;k++){check=0;for(int i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];check=1;}if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i]){dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i];check=1;}}if(check==0)break;}printf("%d\n",dis[n]);}
}

bellman算法有一个特性是弗洛伊德所不能企及的一个点：解决负权路问题;

这里贴上解决负权路问题的代码：（以2544为例）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int dis[121212];
int u[121212];
int v[121212];
int w[121212];
int main()
{int n,m;int check;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){if(n==0||m==0)break;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=0x1f1f1f1f;}dis[1]=0;for(int k=1;k<=n-1;k++){check=0;for(int i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];check=1;}if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i]){dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i];check=1;}}if(check==0)break;}int flag=0;//标记是否有负权回路...for(int i=0;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];flag=1;}if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i]){dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i];flag=1;}}if(flag==1){printf("0\n");continue;}printf("%d\n",dis[n]);}
}

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