Leetcode 382. Linked List Random Node 以及水塘抽样算法

题目：Given a singly linked list, return a random node's value from the linked list. Each node must have the same probability of being chosen.

Follow up:
What if the linked list is extremely large and its length is unknown to you? Could you solve this efficiently without using extra space?

起初想到这个题目就是计算长度，然后利用rand()函数来获取一个值，取该节点返回即可。

代码可以写成如下的样子，在Leetcode上是可以AC的。

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}* };*/
class Solution {
public:/** @param head The linked list's head.Note that the head is guaranteed to be not null, so it contains at least one node. */Solution(ListNode* head) {listHead = head;length = 0;ListNode *p = head;while(p != NULL){p = p -> next;length++;}}/** Returns a random node's value. */int getRandom() {int randNo = rand() % length;ListNode *p = listHead;while(randNo != 0){p = p -> next;randNo--;}return p -> val;}private:ListNode * listHead;int length;
};/*** Your Solution object will be instantiated and called as such:* Solution obj = new Solution(head);* int param_1 = obj.getRandom();*/

但是，显然的，上述的代码并不满足Follow Up的条件。

让我们重新回顾一下补充条件：

What if the linked list is extremely large and its length is unknown to you? Could you solve this efficiently without using extra space?

也就是说：当链表过于庞大时，如何在不利用额外空间的情况下，令获得各节点的概率依旧是均等的呢？

我们需要将链表理解为一个数据流，就需要使用到：水塘抽样算法的内容了。

问题描述：给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次。请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。

解决思路：上面这个问题，看起来十分复杂。所以首先进行一个归纳说明，将大问题变成小问题来解决。

1）长度为1，只有一个数据，直接返回即可，此数据被返回的概率为1.

2）长度为2，当读取第一数据时，我们发现并不是最后一个数据，我们不能直接返回，因为数据流还没结束，继续读取，到第二数据的时候，发现已经结束。所以现在的问题就是等概率返回其中的一个，显然概率为0.5。所以此时我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于0.5，返回第二个，如果大于0.5，返回第一个。显然此时两个数据被返回的概率是一样的。也就是说，在选第二个数的时候，以1/2的概率决定，是否要替换掉前一个数。

3）长度为3，我们可以事先分析得到，为了满足题意，需要保证每个数据返回的概率都是1/3。接下来分析数据流，首先读取第一个数据，然后在读取第二个数据，此时可以按2）处理，保留一个数据，每个数据显然为1/2。此时读取第三个数据，发现到尾部了，为了满足题意，此时需要一1/3的概率决定是否取此数据。现在分析前两个数是否也是以1/3的概率返回，如果是则总体都满足。数据1和数据2同时留下的概率为：1/2 *（1-1/3）= 1/3。1/2只在数据1和数据2pk时，能留下的概率，1-1/3指数据3不被留下的概率。所以，对长度为3的数据流，在读取第三个数据时，我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/3，返回第三个数据，否则，返回前面两个pk留下的数据。也就是说，在选第二个数的时候，以1/3的概率决定，是否要替换掉前两个数字pk的结果。

由上面的分析，我们可以得出结论，在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/n，保留第n个数。大于1/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此数。

归纳证明：下面用数学归纳法证明此结论。

1)当n=1时，第一个元素以1/1的概率返回，符合条件。

2)假设当n=k时成立，即每个元素都以1/k的概率返回，先证明n=k+1时，是否成立。

对于最后一个元素显然以1/k+1的概率返回，符合条件，对于前k个数据，被返回的概率为1/k * (1- 1/k+1)=1/k+1，满足题意。

综上所述，结论成立。

问题扩展：如果要求最后返回的结果数目是k个，那么问题就是水塘抽样问题了。

有了对上文的理解，此处可以直接替换结论：只需把上面的1/n变为k/n即可。

在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于k/n，替换池中任意一个为第n个数。大于k/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此k个数。但是为了保证计算机计算分数额准确性，一般是生成一个0到n的随机数，跟k相比，道理是一样的。

问题证明：可以以同样的方法证明。

（1）初始情况k<=n，出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的，都是1。
（2）第一步。第一步就是指，处理第k+1个元素的情况。

分两种情况：元素全部都没有被替换；其中某个元素被第k+1个元素替换掉。
我们先看情况2：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)（根据公式k/i），所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)（不管它替换掉哪个元素，反正肯定它是以这个概率出现在水库中）。下面来看水库中剩余的元素出现的概率，也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1个元素被选中，然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来，旧元素和新元素出现的概率是相等的。
情况1：当元素全部都没有替换掉的时候，每个元素的出现概率肯定是一样的，这很显然。但具体是多少呢？就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。
（3）归纳法：重复上面的过程，只要证明第i步到第i+1步，所有元素出现的概率是相等的即可。

上述内容，部分参考了以下的链接：

（1）http://blog.csdn.net/javastart/article/details/50610868

（2）http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/52014234

谢谢！

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