前言

当已知某些点而不知道具体方程时候，最经常遇到的场景就是做实验，采集到数据的时候，我们通常有两种做法：拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点，讲究神似，就是整体趋势一致。插值则是形似，每个已知点都必会穿过，但是高阶会出现龙格库塔现象，所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。

引入

首先我们先抛开众多的回归算法不谈，我们对于给出如下的离散的数据点，现在想根据如下的数据点来推测 x=6 时的值，我们应该采用什么方法呢？

用于拟合样条函数的数据

x	f(x)
3.0	2.5
4.5	1.0
7.0	2.5
9.0	0.5

我们知道在平面上两个点确定一条直线，三个点确定一条抛物线（假设曲线的类型是抛物线），那么现在有四个点，我们很自然的会想到，既然两个点确定一条直线，那么最简单的方法就是，两个点之间连一条线，两个点之间连一条线，最后得到的一种折线图如下：这样我们只要确定 x=6 时的直线，把自变量的值带进去，就显然会得到预测的函数值。但是，这种方法显然具有很明显的缺陷：曲线不够光滑，连接点处的斜率变化过大。可能会导致函数的一阶导数不连续。那么我们应该如何解决这个问题呢？

二次样条的原理

我们会想到既然直线不行，那么我们就用曲线来近似的代替和描述。最简单的曲线是二次函数，如果我们用二次函数：ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c 来描述曲线，最后的结果可能会好一点，下图中一共有4个点，可以分成3个区间。每一个区间都需要一个二次函数来描述，一共需要9个未知数。下面的任务就是找出9个方程。

如下所示：一共有x0，x1，x2，x3x_0，x_1，x_2，x_3x0，x1，x2，x3四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。

曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在x1,x2两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：

a1x12+b1x1+c1=f(x1)a_1x_1^2 + b_1x_1 + c_1 = f(x_1)a1x12+b1x1+c1=f(x1)

a2x12+b2x1+c2=f(x1)a_2x_1^2 + b_2x_1 + c_2 = f(x_1)a2x12+b2x1+c2=f(x1)

a2x22+b2x2+c2=f(x2)a_2x_2^2 + b_2x_2 + c_2 = f(x_2)a2x22+b2x2+c2=f(x2)

a3x22+b3x2+c3=f(x2)a_3x_2^2 + b_3x_2 + c3_ =f (x_2)a3x22+b3x2+c3=f(x2)
第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程
节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。

2a1x1+b1=2a2x1+b22a_1x_1 + b_1 = 2a_2x_1 + b_22a1x1+b1=2a2x1+b2

2a2x2+b2=2a3x2+b32a_2x_2 + b_2 = 2a_3x_2 + b_32a2x2+b2=2a3x2+b3
在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：

a1=0a_1 = 0a1=0

上面是对应的9个方程，现在只要把九个方程联立求解，最后就可以实现预测 x=6 处节点的值。

下面是写成矩阵的形式,由于a1=0，所以未知数的个数少了一个

二次样条代码实现

下面是二次样条的python实现，最后将结果绘制在图上。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
二次样条实现：
函数x的自变量为:3,   4.5, 7,    9因变量为：2.5, 1   2.5,  0.5
"""
x = [3, 4.5, 7, 9]
y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]"""一共有三个区间，用二次样条求解，需要有9个方程""""""
功能：完后对二次样条函数求解方程参数的输入
参数：要进行二次样条曲线计算的自变量
返回值：方程的参数
"""
def calculateEquationParameters(x):#parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数parameter = []sizeOfInterval=len(x)-1;i = 1#首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程while i < len(x)-1:data = init(sizeOfInterval*3)data[(i-1)*3]=x[i]*x[i]data[(i-1)*3+1]=x[i]data[(i-1)*3+2]=1data1 =init(sizeOfInterval*3)data1[i * 3] = x[i] * x[i]data1[i * 3 + 1] = x[i]data1[i * 3 + 2] = 1temp=data[1:]parameter.append(temp)temp=data1[1:]parameter.append(temp)i += 1#输入端点处的函数值。为两个方程,加上前面的2n-2个方程，一共2n个方程data = init(sizeOfInterval*3-1)data[0] = x[0]data[1] = 1parameter.append(data)data = init(sizeOfInterval *3)data[(sizeOfInterval-1)*3+0] = x[-1] * x[-1]data[(sizeOfInterval-1)*3+1] = x[-1]data[(sizeOfInterval-1)*3+2] = 1temp=data[1:]parameter.append(temp)#端点函数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程,最后一个方程为a1=0总共为3n个方程i=1while i < len(x) - 1:data = init(sizeOfInterval * 3)data[(i - 1) * 3] =2*x[i]data[(i - 1) * 3 + 1] =1data[i*3]=-2*x[i]data[i*3+1]=-1temp=data[1:]parameter.append(temp)i += 1return parameter"""
对一个size大小的元组初始化为0
"""
def init(size):j = 0;data = []while j < size:data.append(0)j += 1return data"""
功能：计算样条函数的系数。
参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
返回值：二次插值函数的系数。
"""def solutionOfEquation(parametes,y):sizeOfInterval = len(x) - 1;result = init(sizeOfInterval*3-1)i=1while i<sizeOfInterval:result[(i-1)*2]=y[i]result[(i-1)*2+1]=y[i]i+=1result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]a = np.array(calculateEquationParameters(x))b = np.array(result)return np.linalg.solve(a,b)"""
功能：根据所给参数，计算二次函数的函数值：
参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
返回值：为函数的因变量
"""
def calculate(paremeters,x):result=[]for data_x in x:result.append(paremeters[0]*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x+paremeters[2])return  result"""
功能：将函数绘制成图像
参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
返回值：空
"""
def  Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.title("二次样条函数")plt.legend(loc="upper left")plt.show()result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
new_data_y1=calculate([0,result[0],result[1]],new_data_x1)
new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4]],new_data_x2)
new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
new_data_y3=calculate([result[5],result[6],result[7]],new_data_x3)
new_data_x=[]
new_data_y=[]
new_data_x.extend(new_data_x1)
new_data_x.extend(new_data_x2)
new_data_x.extend(new_data_x3)
new_data_y.extend(new_data_y1)
new_data_y.extend(new_data_y2)
new_data_y.extend(new_data_y3)
Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)

二次样条函数运行之后的结果如下，从图像中，我们可以看出，二次样条在函数的连接处的曲线是光滑的。这时候，我们将x=5输入到函对应的函数端中，就可以预测相应的函数值。但是，这里还有一个问题，就是二次样条函数的前两个点是直线，而且函数的最后一个区间内看起来函数凸出很高。我们还想解决这些问题，这时候，我们想是否可以用三次样条函数来进行函数的模拟呢？

三次样条的原理

三次样条的原理和二次样条的原理相同，我们用函数 ax3+bx2+cx+dax^3 + bx^2 + cx + dax3+bx2+cx+d 这个函数来进行操作，这里一共是4个点，分为3个区间，每个区间一个三次样条函数的话，一共是12个方程，只要我们找出这12个方程，这个问题就算解决了。

内部节点处的函数值应该相等，这里一共是4个方程。
函数的第一个端点和最后一个端点，应该分别在第一个方程和最后一个方程中。这里是2个方程。
两个函数在节点处的一阶导数应该相等。这里是两个方程。
两个函数在节点处的二阶导数应该相等，这里是两个方程。
端点处的二阶导数为零，这里是两个方程。

a1=0a_1 = 0a1=0

b1=0b_1 = 0b1=0

三次样条代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
三次样条实现：
函数x的自变量为:3,   4.5, 7,    9因变量为：2.5, 1   2.5,  0.5
"""
x = [3, 4.5, 7, 9]
y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]"""
功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入
参数：要进行三次样条曲线计算的自变量
返回值：方程的参数
"""
def calculateEquationParameters(x):#parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数parameter = []sizeOfInterval=len(x)-1;i = 1#首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程while i < len(x)-1:data = init(sizeOfInterval*4)data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i]data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i]data[(i-1)*4+2] = x[i]data[(i-1)*4+3] = 1data1 =init(sizeOfInterval*4)data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i]data1[i*4+1] =x[i]*x[i]data1[i*4+2] =x[i]data1[i*4+3] = 1temp = data[2:]parameter.append(temp)temp = data1[2:]parameter.append(temp)i += 1# 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程data = init(sizeOfInterval * 4 - 2)data[0] = x[0]data[1] = 1parameter.append(data)data = init(sizeOfInterval * 4)data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1]data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1]data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1]data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1temp = data[2:]parameter.append(temp)# 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。i=1while i < sizeOfInterval:data = init(sizeOfInterval * 4)data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i]data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i]data[(i - 1) * 4 + 2] = 1data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i]data[i * 4 + 1] = -2 * x[i]data[i * 4 + 2] = -1temp = data[2:]parameter.append(temp)i += 1# 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。i = 1while i < len(x) - 1:data = init(sizeOfInterval * 4)data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i]data[(i - 1) * 4 + 1] = 2data[i * 4] = -6 * x[i]data[i * 4 + 1] = -2temp = data[2:]parameter.append(temp)i += 1return parameter"""
对一个size大小的元组初始化为0
"""
def init(size):j = 0;data = []while j < size:data.append(0)j += 1return data"""
功能：计算样条函数的系数。
参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
返回值：三次插值函数的系数。
"""def solutionOfEquation(parametes,y):sizeOfInterval = len(x) - 1;result = init(sizeOfInterval*4-2)i=1while i<sizeOfInterval:result[(i-1)*2]=y[i]result[(i-1)*2+1]=y[i]i+=1result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]a = np.array(calculateEquationParameters(x))b = np.array(result)for data_x in b:print(data_x)return np.linalg.solve(a,b)"""
功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值：
参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
返回值：为函数的因变量
"""
def calculate(paremeters,x):result=[]for data_x in x:result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3])return  result"""
功能：将函数绘制成图像
参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
返回值：空
"""
def  Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.title("三次样条函数")plt.legend(loc="upper left")plt.show()result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1)
new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2)
new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3)
new_data_x=[]
new_data_y=[]
new_data_x.extend(new_data_x1)
new_data_x.extend(new_data_x2)
new_data_x.extend(new_data_x3)
new_data_y.extend(new_data_y1)
new_data_y.extend(new_data_y2)
new_data_y.extend(new_data_y3)
Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)

参考自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/62860859

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三次样条插值详解(附代码实现)

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前言

引入

二次样条的原理

二次样条代码实现

三次样条的原理

三次样条代码实现

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