投资是最具有挑战性的工作之一，因为我们需要时时刻刻与不确定性作斗争。在努力获得超额回报的同时，我们也在谨慎管理着风险。为了在风险和收益中获得一个平衡，“投资组合理论”进入了我们的视野。“投资组合理论”的核心就是分散投资，即Diversification。在《一文讲清楚分散投资（上）——是天真等分还是依靠有效边界模型？人类的思维模式告诉你答案》文章中，我跟大家讲述了“投资组合理论”的提出者Markowitz如何为自己投资的小故事。这个小故事告诉我们以下几点：

1，用“期望均值-方差”模型计算出的投资组合权重比例依赖于历史数据，并不能准确的预测未来，有过度拟合（Overfitting）的风险，使得实际结果与预期相差甚远；

2，“期望均值-方差”模型对输入（Input）非常敏感，在输入端做小的改变可能会使得输出的权重（Output）大变样，投资组合的波动很大，周转率高，交易成本增加；

3，如果有一个投资产品的历史数据优秀（较高收益，较小的价格波动），使用模型确定权重会使得该产品得到非常大的比例，权重开始集中并倾斜，违背了分散投资的初衷。

因此，很多时候，天真的1/N策略（即将资金平均分配给每一个投资产品）反而会得到更好的结果。这也是Markowitz宁愿天真等分也不去用自己的模型算一算的原因。

但是，天真的1/N策略是启发式探索式思维方式的一种应用，它追求的是“能用”而不是“最优”。作为专业投资者，我们肯定要在“能用”的基础上问自己“如何优化”，才对得起投资人对我们的信任。“期望均值-方差”的模型就需要改进，来克服上面讲到的3个问题。

“发展的问题只能通过发展来解决。”

搭建投资模型就像人生，需要困难时不要想着后退，而是要顶着压力再往前走一步，“欲穷千里目，更上一层楼”。“投资组合理论”在被人们不断的改进，今天，我就跟大家讲一讲如何用信息熵的概念完善“投资组合理论”。

首先，让我们简单了解一下信息熵。

熵（英语：entropy）是对不确定性的测量。在1948年，克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵(Shannon entropy)。举个例子，如果有一枚理想的硬币，其出现正面和反面的机会相等，我们无法预测下一次硬币抛掷的结果是什么，出现正面或反面的概率均等，为50%，这个事件的熵就定义为1 bit。但是如果一枚硬币的两面完全相同，那个这个抛硬币事件的熵等于0 bit，因为结果能被准确预测，没有任何不确定性。

下图为信息熵的计算公式，K为正数，观测事件可能发生的结果数为n，Pi为每个结果发生的概率。根据这个公式，当P1=P2=...=Pn时，表示着观察者对结果完全没有任何预测，只能猜所有结果发生的概率一样，是N等分，这时观测事件的不确定性最大，熵最大。

关于信息熵和薛定谔的名句“生命以负熵为食”我就不展开叙述了。感兴趣的朋友可以看下这两位知友的回答：

思维有了模型：熵增定律：为什么那么多人因此顿悟了​zhuanlan.zhihu.com

YJango：信息为什么还有单位，熵为什么用 log 来计算？​zhuanlan.zhihu.com

那么如何将信息熵的概念引入投资组合理论，让高大上的“机器学习”基础帮助我们更好的做投资决策呢？

我们只需要做几个概念的替换就可以了。根据信息熵的公式，观测事件可能产生的结果有n个，每个结果发生的概率为Pi （i=1,2,...,n）， 概率之和为1，即

Pi=1。将观测事件替换成需要搭建的投资组合，投资组合有n个投资产品，每个产品的权重为Pi（i=1,2,...,n），权重之和为1，即

Pi=1。这样，当投资组合的熵最大时，每个产品的权重相等，投资组合最为分散，就是天真的1/N策略。

将上述逻辑加进“期望均值-方差”模型，我们将目标设定为：

1，加权的期望收益最大；

2，期望收益的方差最小；

3，权重的“信息熵”最大。

这样求得的权重比例就在收益、风险、分散化之间求得了一个平衡，改善了Markowitz提出的原始“期望均值-方差”模型的“偏爱某一个或某几个投资产品，不够分散”和“模型对输入的数据敏感，输出结果波动大，造成交易费用高”的问题。

熵，一个原本应用在热力学的概念，被用来衡量不确定性，从而赋予了信息可量化的单位；又被引入了投资组合理论，从而将“分散投资”这一个叙述性概念变为了可量化的数学概念。在这个演化过程中，我们看到了打破思维疆界的力量。“Think Out Of The Box”，破次元壁的思维方式会为我们打开一扇又一扇通向新世界的大门。