数据结构与算法（十一）哈夫曼树及其应用

路径：树中一个结点到另一个结点之间的分支所构成的路径

路径长度：两个结点之间的分支数

树的路径长度：从根结点到每个结点的路径长度之和，记作TL

结点数目相同的二叉树中，完全二叉树是路径长度最短的

结点的带权路径长度：根到该结点之间路径长度 X 该结点的权

树的带权路径长度：所有叶子结点的带权路径长度之和

记作WPL= $\sum w_{k}l_{k}$

哈夫曼树：最优二叉树（带权路径长度（WPL）最短的树）

满二叉树不一定是哈夫曼树

哈夫曼树中权越大的叶子离根越近（贪心算法）

哈夫曼算法

1.根据n个给定的权值{w1,w2,...2n}构成n棵二叉树森林F={T1,T2,...,Tn},其中Ti只有一个带权为wi的根结点。（构造森林全是根）

2.从F中选择两个权值最小的作为左右子树来构造一颗新的二叉树（新二叉树根结点的权值为左右子树根结点之和）（选用两小造新树）

3.删除原来的两颗树，将新树加入森林（删除两小添新人）

4.重复步骤2-3，直到森林中仅剩一棵树（重复2、3剩单根）

例1：a,b,c,d权值分别为7,5,2,4

哈夫曼树只有度为0或2的结点，没有度为1的结点

包含n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点

n棵二叉树要经历n-1次合并可以形成哈夫曼树

例2：a,b,c,d,e权值分别为7,5,5,2,4

算法实现

使用顺序存储结构实现--结构数组

weight（权重）,parent（父母）,lch,rch（左右孩子）

哈夫曼树中共2n-1个结点，不使用0为下标，需要数组大小2n

1.初始化HT[1...2n-1]:lch=rch=parent=0

2.输入初始n个叶子结点：设置HT[1...n]的weight值

3.进行n-1次合并

a.从HT[1...i-1]中选取连个未选择的（parent=0）weight最小的两个结点

b.修改HT[S1],HT[S2]的值，HT[S1].parent=HT[S2].parent=i

c.修改新产生的HT[i] HT[i].weight=HT[S1].weght+HT[S2].weight;

HT[i].lch=S1; HT[i].ch=s2;

void CreateHuffmanTree(HuffmanTree HT,int n){if(n<=1) return;m = 2*n-1;//数组共2n-1个元素HT=new HTNode[m+1];    //0单号未用,HT[m]表示根结点for(i=1;i<=m;++i){HT[i].lch=0;    HT[i].rch=0;    HT[i].parent=0;}for(i=1;i<=n;++i)    cin>>HT[i].weight;//输入前n个weight值///*********初始化结束***********///for(i=n+1;i<=m;i++){Select(HT,s1,s2);//在HT中选择连个双亲域为0且权值最小的结点HT[s1].parent=i;    HT[s2].parent=i;//删除s1，s2HT[i].lch=s1;    HT[i].rch=s2;    //s1，s2作为左右孩子HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;//设置新权值}
}

应用：哈夫曼编码

不定长二进制编码，出现次数多的尽可能短（节约空间）！！！任意一个字符的编码不能是另一个字符编码的前缀--前缀编码

哈夫曼树： 1.统计字符在电文中出现的平均概率

2.根据平均概率构造哈夫曼树

3.结点左分支标0，右分支标1；把从根到每个叶子结点的路径上的标号连接起来，作为该叶子代表的字符编码

哈夫曼编码中每个字符（叶子结点）的编码（路径）都不会经过其他字符，所以不存在某个字符的编码是其他字符的前缀

哈夫曼编码的实现

1.查找该字符的双亲结点，并确定其是左孩子还是右孩子。

2.在临时存储区域中标注当前结点的状态，如果为左孩子标0，右孩子标1

3.将临时空间向前移动一位寻找下一个双亲结点，直到找到根结点为止

例

以第三个字符C为例

start	0	1	2	3	4	5	6
Loc			13	12	11	3
parentLoc			0	13	12	11
childTag			root	1	0	1	\0

Loc为结点自己的位置，parentLoc为双亲结点的位置，childTag为该结点是左孩子还是右孩子，讲childTag连接起来就是该字符的哈夫曼编码，\0为编码结束的标志

void  CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT,HuffmanCode &HC ，int n){HC = new  char*[n+1];//分配n个字符编码的头指针矢量cd = new char[n];//分配临时存放编码的动态数组cd[n-1] = '\0'    //编码结束符for(i=1;i<=n;++i){start=n-1;  c=i;  f=HT[i].parent;while(f!=0){    //从叶子结点开始向上回溯，直到根结点--start;    //回溯一次start向前指一个位置if(HT[f].lchild == c)    cd[start] = '0';//结点c为f的左孩子，标0else                     cd[start] = '1';//结点c为f的右孩子，标1c=f; f=HT[f].parent;    //向上回溯}            //求第i个字符的编码HC[i]= new char[n-start];//为第i个字符的编码分配空间strcopy(HC[i],$cd[start];)//将求得的编码从临时空间cd复制到hc中}delete cd;//释放临时空间
}

哈夫曼树的应用：

1.编码文件 ①输入各字符的权值

②构造哈夫曼树HT[i]

③进行哈夫曼编码HC[i]

④查HC[i]，得到各字符的哈夫曼编码

2.解码文件 ①构造哈夫曼树

②一次读入二进制编码

③读入0，则走向左孩子；读入1，则走向右孩子

④一旦到达某叶子时，即可译出字符

⑤然后从根出发继续译码，直到结束

原文为uvuwxxxvywyuyyvxxyxxuxuvvyvxy

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