Bisecting k-means聚类算法，即二分k均值算法，它是k-means聚类算法的一个变体，主要是为了改进k-means算法随机选择初始质心的随机性造成聚类结果不确定性的问题，而Bisecting

k-means算法受随机选择初始质心的影响比较小。

首先，我们考虑在欧几里德空间中，衡量簇的质量通常使用如下度量：误差平方和(Sum

of the Squared Error，简称SSE)，也就是要计算执行聚类分析后，对每个点都要计算一个误差值，即非质心点到最近的质心的距离。那么，既然每个非质心点都已经属于某个簇，也就是要计算每个非质心点到其所在簇的质心的距离，最后将这些距离值相加求和，作为SSE去评估一个聚类的质量如何。我们的最终目标是，使得最终的SSE能够最小，也就是一个最小化目标SSE的问题。在n维欧几里德空间，SSE形式化地定义，计算公式如下：

Bisecting k-means聚类算法的基本思想是，通过引入局部二分试验，每次试验都通过二分具有最大SSE值的一个簇，二分这个簇以后得到的2个子簇，选择2个子簇的总SSE最小的划分方法，这样能够保证每次二分得到的2个簇是比较优的(也可能是最优的)，也就是这2个簇的划分可能是局部最优的，取决于试验的次数。

Bisecting k-means聚类算法的具体执行过程，描述如下所示：

1、初始时，将待聚类数据集D作为一个簇C0，即C={C0}，输入参数为：二分试验次数m、k-means聚类的基本参数；

2、取C中具有最大SSE的簇Cp，进行二分试验m次：调用k-means聚类算法，取k=2，将Cp分为2个簇：Ci1、Ci2，一共得到m个二分结果集合B={B1,B2,…,Bm}，其中，Bi={Ci1,Ci2}，这里Ci1和Ci2为每一次二分试验得到的2个簇；

3、计算上一步二分结果集合B中，每一个划分方法得到的2个簇的总SSE值，选择具有最小总SSE的二分方法得到的结果：Bj={Cj1,Cj2}，并将簇Cj1、Cj2加入到集合C，并将Cp从C中移除；

4、重复步骤2和3，直到得到k个簇，即集合C中有k个簇。

聚类算法实现

基于上面描述的聚类执行过程，使用Java实现Bisecting k-means聚类，代码如下所示：

@Override

public void clustering() {

// parse sample files

final List allPoints = Lists.newArrayList();

FileUtils.read2DPointsFromFiles(allPoints, "[\t,;\\s]+", inputFiles);

// 从文件中读取二维坐标点，加入到集合allPoints中

final int bisectingK = 2;

int bisectingIterations = 0;

int maxInterations = 20;

List points = allPoints;

final Map

Set>> clusteringPoints = Maps.newConcurrentMap();

// 最终的聚类结果集合

while(clusteringPoints.size() <= k) { // 当得到k个簇，则算法终止

LOG.info("Start bisecting iterations: #" + (++bisectingIterations) + ",

bisectingK=" + bisectingK + ",maxMovingPointRate=" + maxMovingPointRate +

", maxInterations=" + maxInterations + ", parallism=" + parallism);

// for k=bisectingK, execute k-means clustering

// bisecting trials

KMeansClustering bestBisectingKmeans = null;

double minTotalSSE = Double.MAX_VALUE;

for (int i = 0; i < m; i++) {

// 执行二分试验：调用k-means聚类算法，将输入的点集进行二分，得到2个簇，试验执行m次

final KMeansClustering kmeans = new KMeansClustering(bisectingK, maxMovingPointRate,

maxInterations, parallism);

kmeans.initialize(points);

// the clustering result should have 2 clusters

kmeans.clustering();

double currentTotalSSE = computeTotalSSE(kmeans.getCenterPointSet(),

kmeans.getClusteringResult()); // 计算一次二分试验中总的SSE的值

if(bestBisectingKmeans == null) {

bestBisectingKmeans = kmeans;

minTotalSSE = currentTotalSSE;

} else {

if(currentTotalSSE < minTotalSSE) {

// 记录总SSE最小的二分聚类，通过kmeans保存二分结果

bestBisectingKmeans = kmeans;

minTotalSSE = currentTotalSSE;

}

}

LOG.info("Bisecting trial <> : minTotalSSE=" + minTotalSSE + ",

currentTotalSSE=" + currentTotalSSE);

}

LOG.info("Best biscting: minTotalSSE=" + minTotalSSE);

// merge cluster points for choosing cluster bisected again

int id = generateNewClusterId(clusteringPoints.keySet());

// 每次执行k-means聚类，都多了一个簇，为多出的这个簇分配一个编号

Set bisectedCentroids = bestBisectingKmeans.getCenterPointSet();

// 二分得到的2个簇的质心的集合

merge(clusteringPoints, id, bisectedCentroids,

bestBisectingKmeans.getClusteringResult().getClusteredPoints());

// 将二分得到的2个簇的集合，合并加入到最终结果的集合中

if(clusteringPoints.size() == k) { // 已经得到k个簇，算法终止

break;

}

// compute cluster to be bisected

ClusterInfo cluster = chooseClusterToBisect(clusteringPoints);

// remove centroid from collected clusters map

clusteringPoints.remove(cluster.centroidToBisect);

LOG.info("Cluster to be bisected: " + cluster);

points = Lists.newArrayList();

for(ClusterPoint cp : cluster.clusterPointsToBisect) {

points.add(cp.getPoint());

}

LOG.info("Finish bisecting iterations: #" + bisectingIterations + ",

clusterSize=" + clusteringPoints.size());

}

// finally transform to result format

Iterator

Set>>> iter = clusteringPoints.entrySet().iterator();

while(iter.hasNext()) { // 构造最终输出结果的数据结构

Entry>> entry = iter.next();

clusteredPoints.put(entry.getKey().getId(), entry.getValue());

centroidSet.add(entry.getKey());

}

}

上面，我们调用chooseClusterToBisect方法区实现对具有最大的SSE的簇进行二分，具体选择的实现过程，代码如下所示：

private ClusterInfo chooseClusterToBisect(Map

Set>> clusteringPoints) {

double maxSSE = 0.0;

int clusterIdWithMaxSSE = -1;

CenterPoint centroidToBisect = null;

Set> clusterToBisect = null;

Iterator

Set>>> iter = clusteringPoints.entrySet().iterator();

while(iter.hasNext()) {

Entry>> entry = iter.next();

CenterPoint centroid = entry.getKey();

Set> cpSet = entry.getValue();

double sse = computeSSE(centroid, cpSet); // 计算一个簇的SSE值

if(sse > maxSSE) {

maxSSE = sse;

clusterIdWithMaxSSE = centroid.getId();

centroidToBisect = centroid;

clusterToBisect = cpSet;

}

}

return new ClusterInfo(clusterIdWithMaxSSE, centroidToBisect, clusterToBisect, maxSSE);

// 将待分裂的簇的信息保存在ClusterInfo对象中

}

private double computeSSE(CenterPoint centroid,

Set> cpSet)

{

// 计算某个簇的SSE

double sse = 0.0;

for(ClusterPoint cp : cpSet) {

// update cluster id for ClusterPoint object

cp.setClusterId(centroid.getId());

double distance = MetricUtils.euclideanDistance(cp.getPoint(),

centroid);

sse += distance * distance;

}

return sse;

}

在二分试验过程中，因为每次二分都生成2个新的簇，通过计算这2个簇的总SSE的值，通过迭代计算，找到一个局部最小的总SSE对应的2个簇的划分方法，然后将聚类生成的2簇加入到最终的簇集合中，总SSE的计算法方法在computeTotalSSE方法中，如下所示：

聚类效果对比

下面，我们对比一下，k-means算法与Bisecting k-means多次运行的聚类结果对比，如下图所示：

private double computeTotalSSE(Set centroids, ClusteringResult clusteringResult) {

double sse = 0.0;

for(CenterPoint center : centroids) { // 计算2个簇的总SSE值

int clusterId = center.getId();

for(ClusterPoint p : clusteringResult.getClusteredPoints().get(clusterId)) {

double distance = MetricUtils.euclideanDistance(p.getPoint(), center);

sse += distance * distance;

}

}

return sse;

}

上图中，第一排是执行k-means聚类得到的效果图，第二排是执行Bisecting k-means聚类得到的效果图，其中编号为9999的点为质心点。第二排效果图看似多次计算质心没有变化，但是实际是变化的，只是质心点的位置比较稳定，例如，下面是两组质心点：

462.9642857142857,303.5,7

172.0,279.625,8

236.54285714285714,136.25714285714287,10

105.125,65.9375,11

75.91304347826087,185.7826086956522,12

56.03333333333333,299.53333333333336,13

273.5,117.5,14

415.5952380952381,68.71428571428571,15

329.04,308.68,16

374.35,200.55,17

172.0,279.625,5

462.9642857142857,303.5,8

105.125,65.9375,9

236.54285714285714,136.25714285714287,10

273.6666666666667,124.44444444444444,11

415.5952380952381,68.71428571428571,12

75.91304347826087,185.7826086956522,13

56.03333333333333,299.53333333333336,14

379.57894736842104,201.6315789473684,15

329.04,308.68,16

同k-means算法一样，Bisecting k-means算法不适用于非球形簇的聚类，而且不同尺寸和密度的类型的簇，也不太适合。