图形B=B≌B凸显中学数学有一系列重大错误（更新稿） ——合同图形概念让5000年无人能识的自然数一下子浮出水面
图形B=B≌B凸显中学数学有一系列重大错误（更新稿）
——合同图形概念让5000年无人能识的自然数一下子浮出水面
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 510631）
[摘要]证明了几何学应有初等几何常识：任何非空点集A的真子（扩）集必不≌A，因A≌A故B=A的必要条件是B≌A。此常识让5千年（2500年）都无人能识的N（R）外标准无穷大自然数（实数）一下子浮出水面推翻百年：集论、自然数公理、“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。初等几何最最起码常识e：有界图形B=B≌B。初等几何有史2300多年来一直认定:有无穷多个公共点的两直线（相应射线）必重合，不重合的两等长直线段仅有位置差别而必≌。此2300多年初等几何“最起码常识”被常识e推翻从而让3千年都无人能识的伪二重直线段⊂相应直线一下子浮出水面推翻百年集论。“配对”常识直接显示无穷集V⊂W必不～W从而让上述自然数和2500年都无人能识的R最小正数元⊕（人类认识分数后的2500多年里一直不知存在⊕）、R最大元（揭示“直（射）线”是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）前后有不同的长短）以及它们的倒数一下子浮出水面。不识这类“更无理”的数和直线段使初等数学有一系列重大错误从而使300年微积分一直存在尖锐自相矛盾。
[关键词]N内、外标准无穷大自然数及N最大元；; R有最小、大正数元；“配对”常识推翻百年集论和百年自然数公理；推翻直线公（定）理；推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；假N及伪二重、伪≌点集；保距及变距变换；有序连续变化的变化规律
一、导言：“太狂妄无知”的“反科学”发现来自太浅显的数学起码常识
百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。美国著名数学史家M•克莱因教授很有代表性地断定：“实数系统已经用了五千多年，无数关于实数的理论均被证明，仍未发现任何矛盾。实数公理产生了许多著名定理，…[1]”。然而中国学者丁小平却认为：现行实数理论、测度理论、无穷集合论等都存在根本性错误[2]。张喜安高级工程师也敏锐地提出了“集合论的错误的证据 [3]”。本文和[4][5]表明：五千年都无人能发现关于自然数的理论会使数学自相矛盾的原因是一直缺乏发现尖锐矛盾的慧眼，正如没放大镜就一直以为鸡蛋壳“天衣无缝”一样；存在矛盾的原因是认识自然数已有5千多年的数学一直不识“更无理”的标准无穷大自然数从而将“自然数集”N外自然数误为N内数从而将似是而非的假N误为N，进而将非可数集误为可数集。症结是不知“标准实数集”R仅是标准实数全体的沧海一粟（本文揭示标准分析与非标准分析等价的原因是标准分析一直在用而不知地使用R内、外标准无穷小、大数）。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。“科学”共识：因数学是严密精确的代名词故数学，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等数学对直线（段）这一最基本、简单图形的认识、对自然数及由其组成的数集（列）的认识，绝不可能有极重大错误。刊登在《考试周刊》2018年第71（“起义”）期的文献[6]有“起义”发现：“有无穷多公共点的直线必重合，等长直线段必≌。”这一2300年初等几何“最起码常识”其实是将无穷多各异直线（段）误为同一直线（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”误区——百年病态集论的症结；所以被病态集论统治的现代数学不能不弃暗投明地“起义”：从2300年“井底”起升到光明的井外进入到认识“更无理”的数和图形的时代，从而不再被蒙在黑暗“井底”。本文是对[4][5][6]的重大补充。“连小学生也知两等长闭直线段必可通过移动而重合”。“因太无知从而太狂妄”的“反科学”发现来自太浅显的：⑴中学生应熟悉的：数集和初等几何的最起码常识、保距变换概念；⑵“配对”常识和近似计算常识；⑶不等式起码常识和区间概念。故具有高中文化水平者也能分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？问题是错误的应试教育会使不少人唯书、唯上、不唯实从而“没有文化只有文凭”。
二、数集最起码常识推翻直线公（定）理——可看图识“字”：R各元x与各对应x+1不可一一对应相等
设集A=｛x｝表A各元均由x代表，变量x的变域是A。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推；设各函数的定义域均可由D代表。
何谓质点？爱因斯坦：“一个大小可忽略不计的物体，就作为一个点。”（《爱因斯坦文集（一）》204页，中译本，1976年）天体力学中的地球可是质点。因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+δx（δx可=0也可≠0）故x变换为实数y=y（x）=x+δx（δx=y（x）-x是x的函数）的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿管道g移动变为还在g内的点y=x+δx，即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。注：平面直角坐标系的x轴上的点x可映射为y轴上的点y=y（x），而y轴绕原点旋转90度就变为在管道g内的直线。《复分析可视化方法》是复分析领域的一部名著，其公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。显然没有宽度的曲、直线和没大小的“点”是没有形象的，从而是不可视的。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为 R轴各点；变数可形象化为g内的动点。
数学家在中学阶段就须正确认识一次函数的定义域和值域，否则…。初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此，初中几何有直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。说R轴各元点x可沿轴保距平移变为点x+δx=y=x+1就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为元是点y的y=x+1轴，其余类推。R轴即x轴沿本身平移变为y=x+δx=x+c（常数c≠0）轴，中学数学一直认定x轴=y轴（自有函数概念几百年来数学一直断定即现行实数理论断定：R各元x的对应数x+1的全体是R），因有直线公理。其实这是违反数集最起码常识的肉眼直观错觉。数集最起码常识：
定义a：若A各元x有与之对应相等的元y∈B且B各元y有与之对应相等的元x∈A即A各元与B各元可一一对应相等，则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。显然A≈B与A=B不能同时成立。
x轴的子部射线A:x≥0平移变为射线B：x′=x+0.0001≥0.0001≈0，A≈B的原因是平移的距离≈0从而使A各元x与B各元x+0.0001≈x+0一一对应近似相等。R各元x保距（平移）变为y=x+常数c组成I=｛y｝，若c≈0则I各元y=x+c≈x+0与R各元x一一对应近似相等使I≈R；显然当且仅当c=0时才有：I各元x+c=x与R各元x一一对应相等使I=R。可见数集相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c轴≠x轴（c≠0）,若平移距离|c|≈0则y轴≈x轴；当然肉眼不可察觉此事实（从而使人们不敢肯定“若I各元与R各元一一对应近似相等则I≈R”的正确性），但下文使人凭肉眼就能察觉，正如凭肉眼就能看到射线A≈B一样。
相互平行的平面直线y=x和y=x+c中的c若≈0则直线y=x+c≈x+0与直线y=x近似重合。1与104相比≈0从而使直线y=x+1与直线y=x+104相比，≈与直线y=x重合，将这3线画在纸上就看到有两线几乎重合。有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合，点（x，y，z）≈点（x，y，z′≈z）。各x变为y=x是恒等变换。R各元y=x变为y′=x+常数c,设各x（y与y′）是平面点的横（纵）坐标。直线U：直线y=x（y∈R）各元点（x，y=x）的x 不变而y=x变为y′=x+c≈x就使U变为元是点（x，y′=x+c≈x）的V：直线y′=x+c≈x而与直线y=x近似重合，原因是两线各点的纵标y=x与y′=x+c≈x一一对应近似相等使U、V各元点一一对应近似重合；显然若“一一对应相等”则两线必重合，故两线只可近似重合的唯一原因是不能一一对应相等。这形象直观地说明：R各元x与各f（x）=x+c不能一一对应相等；各x只能与各x+c中的x一一对应相等而不可与各x+c本身一一...。
R⊃N各元x均有对应标准实数x+1和2x以及xn（自然数n≥2）等等。由上可见数集最起码常识表明x轴（直线y=0x）沿本身平移各不同的非0距离|c|就变为无穷多各异直线（均由标准实数点组成）：x′=x+c轴（直线y=0x′）相互叠压在一起形成直线族S，斜率为1的直线y=x+c有多少条S就有多少个元；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线误为同一线：x轴。详论见[6]。注：下述各关于实数的中学“常识”都是现行实数理论。
三、可看图识“字”：变距不变序变换必使点集有根本改变——点集A=B≌B让中学生也能一下子认识2300年（3000年）都无人能识的伪二重直、射线（直线段）
人的骨头A得了骨质疏松病变为B，肉眼看B=A，但其实两者有根本区别。有了电子显微镜使医学发生革命飞跃，同样，深入到“点”这一层次上来研究图形让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的伪二重直线段。
表示对应关系：N各元x=n↔y=n+1的图形是离散的点（x，y）的点集。有了各点还须有规定各点如何排列、聚集的法则才能确定一点集，正如有了各数n还须有规定各数如何有序排列的规定才能确定一数列一样。点还是这些点，但其可聚集成长度为c的直线段A也可聚集成曲线段等等，A还可伸长（压缩）变长（短）为新线段(～A)还由A的全部点组成。极显然：R轴上的点集E：……（这不是省略号）各点之间任意交换位置改变前后顺序后还是原点集E，但各点的前后顺序关系保持不变时若点与点之间的距离变大（小）（集的组成成员及各成员之间的序关系都没变但组织结构变了）则必使E变为≠E。将R轴各无理数点都挖去就得有许多“漏洞”的有洞直线。同样可将点集E看成是有洞闭直线段，学而思的学生看E都可悟出h几何重要原理：至少有2元的有序点集A的组成成员及各成员之间的序关系都不变时任两异成员之间的距离一发生改变就必使A变为≠A。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。“无界”的“整数点集”Z各元点x=±n（n∈N）不保距变为2x=±2n组成｛±2n｝不≌Z从而更≠Z。同样…。至少有两元的 A各元x保距变为y=y（x）组成元为y的B≌A。
h推论：至少有两元的点集A各元x按同一变换法则变为y=y（x）组成B=｛y｝=A（≌A）必是保距变换。
证：⑴因B=A≌A故…。⑵如圆周有圆心那样许多点集有对称中心，A0=｛x｝=｛1，2｝绕点x=1.5（A0的对称中心）旋转180度变为｛2，1｝。看点集E可知：一维空间中点集A各元点移动后还回到原位置或各点之间任意交换位置才能使A变回自己。所以A各元按同一变换法则变为y（x）组成｛y｝=A只能有两种变换：⑴恒等变换；⑵A绕其对称中心点旋转180度；若A无对称中心则只能是恒等变换。⑴⑵均是保距变换。证毕。
一杯水是水分子的集合A，A平移到新位置成A′或A变成水蒸汽B还是由A所有水分子组成的集，这平移只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构，而B就与A有不同的组织结构从而使B中与A形状（杯形）、体积相等的部分≠A。在纸片A上画上几个质点形成一点集，将A挂在画有坐标系的黑板上后再让A沿黑板不断移动（保距变换），此时各点的位置坐标不断变化使点集是变集，但点集的组成成员、组织结构、各成员(所画上的那几个点)之间的距离关系，始终都没变。这说明：质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：两异非空点集的组成成员可完全相同。数形结合须跃出根本误区。
减员变换及压缩变换都可使直线段A=[0，2]⊂x轴变短：将（1，2]⊂A挖去使A变短为[0，1]⊂A，这是不改变点集的组织结构的减员变换；A各元点x沿x轴负向平移变为点y=x+δx=0.5x得元为点y的B=[0，1]⊂相应数轴即A 收缩变短为B，这是不改变点集的组成成员及其序关系但改变组织结构的变换。点还是这些点∈A，但其按减小两异成员间距（规定各点到点x=0的距离由原|x|减小为|x/2|）的排列、聚集方式重新排列、聚集而成的点集是B。
区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，后文表明中学的“[0，1]=[0，1]⊂R”是重大错误。x轴即R轴各元点x沿x轴方向保序不保距平移变为点y=x+δx=kx（正常数k≈1）≈x生成元为点y的y=kx轴即x轴保序不保距地伸缩变换为y=kx轴（不≌x轴）叠压在x轴上。中学一直认定x轴=y轴，因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。理由：⑴y轴各非0元y=kx≈x（k≈1）与R轴各非0元x一一对应近似相等使R轴≈y轴。⑵据h几何重要原理、h推论kx轴≠x轴。⑶直（射）线A伸缩成B不≌A，有直线段u=[a，b]⊂A和v=[a，b]⊂B，下文证明了u与v是伪二重直线段（区间）表明A与B是伪二重直（射）线。注：平面由相互平行的直线组成。⑷最有力证据是后文证明了R有最小、大正数元。同理，x轴各元点x不保距平移变为点y=xn (n是奇数3，5，... )生成元为点y的y=xn轴≠x轴，中学几百年“y轴=x轴”及复变函数论的相应结论是肉眼直观错觉。...。
同理，中学一直将无穷多各互不≌的射线x≥0、y(x)=xk≥0（正常数k≠1）、u(x)=kx（正常数k≠1）≥0、...，误为同一线。R所有正数组成的A各元x>0不保距变为y=1/x>0（或=1/x2>0等等）组成B=｛y｝不≌A，据h推论中学几百年“B=A”是重大错误。...。
h定理1：至少有两元的A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的充分必要条件是|△y|=|△x|(△x中x的变域是A)。同理，二、三维空间点集A≌B的必要条件是...。
证：A各元点x保距变为点x+δx=y（x）生成B=｛y（x）｝≌A时A与B的元必有一一对应关系：x↔y=y（x），且距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|。同理…。证毕。
h定理2：至少有3元的点集（设想是质点集）A=｛x｝的真子集（至少有两元）D⊂A必不≌A。
证1：据下述h定理3D⊂A的元少于A的元从而使A不～D，因此D不≌A。
证2：在某些场合x∈A表x的变域是A。A0 =｛1，2，3｝任两异元的距离（例1与3的距离是2）|△x|(x∈A0)只能或=1或=2，而D0=｛1，2｝⊂A0任两异元的距离|△x|(x∈D0)只能=1；因此这两|△x|不是同一|△x|。这说明各相应的距离|△x|(x∈A)≠|△x|(x∈D⊂A)。据h定理1D不≌A。
证3：上述阐明保距运动是刚体运动从而不能使点集失去任何组成成员也不能使一成员与另一成员处于同一位置。不论是否“无界”的A不失元就不能变为D⊂A，而A失去一元的唯一原因是：A失去一成员或一成员离开原位与另一成员处于同一位置使A失一元。故A变为D⊂A不是保距变换使D不≌A。证毕。
流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“定义域为[-2，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]⊂R”其实违反初等几何最最起码常识e。直线段L=[-2，2] ⊂x轴有子部D=[-1，1]⊂x轴，L各元点x沿x轴平移变为点y=x+δx=0.5x得元为点y的线段D′（～L）=[-1，1]⊂y=0.5x轴。2300多年初等几何“最起码常识”：～L的D′=D≌D，其实是肉眼直观错觉。理由：①假设D′≌D成立则D′各元点必可是由D各元点通过按同一变换法则保距变换而变来的，从而使相应的距离|△y|=|△x|，据h定理1；然而D′=｛y=0.5x｝任两异元间的距离|△y|=|0.5△x|<|△x|；故假设不成立即D不≌D′。据起码常识eD′≠D。因x轴是均匀压缩变换为y=0.5x轴故D′⊂0.5x轴与D⊂x轴有不同的组织结构从而等长却不≌。②据下述h定理3D′～L与D⊂L等长却不等势从而不≌。③最有力证据是后文证明了D有最小正数点x=⊕，而D′有最小正数点y=0.5x=0.5⊕≠⊕。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样线段L被压缩成与D⊂L等长的D′～L不能成为L的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误，其使康脱推出康健离脱的病态“定理”：L～D⊂L。
据下述h定理3D′～L不是L的真子集，L不能包含D′说明D′必至少有一“特异”的正数元x′=0.5x<x∈L在L外而<L一切正数x。这R外x′=t及其倒数1/t显然是标准分析一直用而不知的标准无穷小（大）正数，由发现无理数到发现这类数竟须历时2500年！
x轴伸缩变换为y=kx轴（正常数k≠1），有等长线段：A=[a，b]⊂x轴和B=[a，b]⊂y=kx轴（[a/k，b/k]⊂x轴各点x变为点y=x+δx=kx组成元为点y=kx的B⊂y轴），B=｛y=kx｝任两异元的距离|△y|=|k△x|≠|△x|；据h定理1A不≌B。故A与B是3000年都无人能识的貌似重合的伪二重点集、伪≌点集；这说明有无穷多长度均=|a-b|的直线段互不≌。可见初等几何“最起码常识”：等长直线段必≌，其实是“以井代天”的2300年“井底蛙”误区，其使中学有一系列搞错函数的值域的几百年重大错误——百年病态集论的症结。
四、保距变换概念让5000（2500）年都无人能识的N外自然数（R外标准实数）一下子浮出水面推翻百年：集论、自然数公理、“R轴各点与各标准实数一一对应定理”
变数n取自然数。挖去N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。R所有非负元x≥0组成R+。中学数学一直断定定义域为N（R+）的y=n+1（y=x+1）的值域=N+（=...）。R轴的射线x≥0即射线R+各元x≥0保距变大为y=x+1≥1组成～R+的B（射线y=x+1≥1）≌R+,据h定理2≌R+的B不是R+的真子集（或据下述h定理3～R+的B不⊂R+），≠B的R+不能包含射线B说明B必至少有一元x+1≥1在R+外而>R一切元x——上述“R各元x与各对应x+1不可一一对应相等”的原因。由发现无理数到发现“更无理”的R外标准无穷大数竟须历时2500年！N各元n≥0保距变大为y=n+1≥1组成H={y}≌N,据h定理2≌N的H不⊂N（或据下述h定理3～N的H不是N的真子集），N不能包含H说明H必至少有一元y（5000年都无人能识的标准无穷大自然数）在N外而>N一切元n使H≠N+。
可见中学几百年自然数、实数理论：“～N的H=N+⊂N、...”是违反保距变换概念的重大错误，其使康脱推出错上加错的：N（R+）～其真子集。重大核心错误没能及时察觉就会使人滚雪球似地推出错上加错的一系列更重大错误。
应有几何起码常识g：至少有3元的点集A变为B=A必使A任一部分D（至少有2元）也作此变回自己的变换，否则D就不是A的一部分，正如一个人在广州原地不动，其头部就绝不可移动到北京一样。x轴沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴使直线段[0，1]⊂x轴平移距离1改变了位置，这不是变回自己的变换。中学几百年解析几何一直认定y轴=x轴即说x轴平移的距离是0使其没发生位置改变；这显然与事实不符从而是违反常识g的重大错误。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符，真相是：x轴平移变为y轴不是变回自己的变换。平移的距离1与x轴的长度相比是无穷小使相比下x轴与y轴只有无穷小的差别而几乎重合，虽然y轴有无穷多元点y“更无理”地突出在x轴外（见后文）。
五、“配对”常识让5000年都无人能识的自然数一下子暴露出来推翻百年自然数公理
设F=｛（x，y=x）｝表F 是元为有序数偶的数偶集,但F同时也可是以数为元的数集F=｛（x，x）｝=｛x｝，由一对对数组成的集可称为数偶集；G=｛（x，y），（，y）｝表G是由有序数偶和“单身”数y组成的混合集（可规定单身y只能与F内数偶中左边的数x配对）。其余类推。
数列N的偶数n=2p=0，2，4，...和奇数n=2p+1一样多使N可是数偶序列N=｛（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…｝, 挖去N一个偶数0得N+={1，（2，3）（4，5）...} （各偶数n的右、左邻数n±1均为奇数）⊂N是既有数偶又有“单身”奇数1的混合序列；“拆东补西”地让一偶数n与1配对，n的原“配偶”就成一新单身奇数，故N+中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数使N+不能成为数偶列。为什么？因N+中奇数比偶数多。“拆东补西”不能使混合序列变为没单身项的数偶序列这一配对常识表明N+各偶数n改与其左邻：奇数n-1配对后必有一偶数n的原配偶：n的右邻n+1∈N+成新单身奇数而没偶数∈N+与其配对，所以新单身n+1=Ω的后继n+2（偶数）≠0必在N+外而>N一切元。显然Ω是N最大元，因其后继Ω+1在N外。数学使人推断存在海王星，配对常识使人推断存在目光太短浅的5千年“肉眼”数学一直不能察觉的N+外自然数。详论见[4]。
各点按规定进入各指定位置才能形成一点集。R轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x），挖去R轴一个点x就留下一个“洞”：单身的位置x，故R轴是元为对子的对子集。挖去R轴一切点就留下“空洞”集K～R。上述配对常识表明挖去R轴一个点x，剩下的点x就不可填满K～R的洞（一点只填一洞）, 挖去R轴一切非自然数点x，剩下的自然数点x=n不可填满R轴的位置洞∈K——显示N的元少于R～K的元。这说明R失元变为R的真子集，其元必少于R的元。
六、“配对”常识推翻“人类最伟大创造”让5000年都无人能识的自然数一下子暴露出来揭示初等数学有几百年重大错误：将两异数列误为同一数列
h定理3：任一无穷集W的真子集V⊂W的元必少于W的元使V不可～W，故若A～W 则A必≠V。
证：各x变为w=x是恒等变换。数集W各元x变成数偶（x，w=x）组成F={（x，w=x）}，设x是数轴上的点的坐标，w=x是点x所在位置“洞”的坐标，从而F的元是（点x，位置洞w=x）。挖去F部分点，剩下的点不可填满F的洞（这百多字推翻百多年集论！）。挖去F部分（点）x=τ就使F变为有单身的混合集G=｛（x，w=x），（，w=x=τ）｝，拆东补西地让一非单身x与一单身w=x=τ配对，x的原配偶w=x就成新单身。故无论怎样改配对法则重新配对都不能改变G中x方总可无单身而w方总有单身这一格局（这里的关键是不可让G外数“混进来”参与新配对），原因显然是G中的“洞”w比点x多。这说明W（=W∪W={（x，w=x）}={x}）失元变为V⊂W，V的元必少于W的元。证毕。
若正数x≡k（x/k）=ky则x>0必有对应数x/k=y，凡是<x的正数都可表为y=x/k（k>1），若x≡（kx）/k=y/k 则凡>x的数都可表为y=kx>x>0。A一元x按变换法则f变为y=f（x）而另一元x′按≠f的变换法则g变为y=g（x′），这是不同的元按不同的变换法则进行变换的变换。比x>0小的正数都可表为y=x/k（常数k>1）。｛x｝=｛0.1，1，7｝中的x=7变小为f（x）=x/k=x/7=1（x=7，k=7），x=1变小为g（x）=x/2=1/2（x=1，k=2），x=0.1变小为h（x）=x/10=0.1/10=0.12（x=0.1=1/10，k=10）；这是各元x>0保序变小为原来的1/k的变换即变为y=x/k，但各x不是按同一变换法则进行变换。注：各点（x，y=x/k）（k=7，2，10）分别是各直线y=x/k的元点。
h定理4：有最小（大）元的无穷数集A各元x若均有对应数y（x）>（<）x则必至少有一对应数y在A外。
证1：A各元x保序变大（小）为y=y（x）(不一定按同一变换法则进行变换)>（<）x组成B=｛y｝～A（保序变换是一一对应变换），由A有最小（大）元知B≠A；据h定理3B～A不是A的任何真子集，≠B的A不可包含B说明B至少有一元y在A外。
证2：不等式起码常识：y（x）>x∈A中：变域为A的x可遍取A一切数x使y（x）必可遍比A一切数x都大而取A外数；“对A国一切人x都有人y比x高”就是说有人y高于A国一切人x，“对A一切（任何）数x都有对应变数y（x）>x（注：“常数”是其变域内只有一个数的变数）”就是说y可>A一切数x而取A外数。同样x>y（x）中：......。此起码常识是否成立的问题是“光身皇帝”是否光身的问题。关键是连文盲也知“一切”“任何”的确切含义。
证3：高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。设c是A最小元，区间Q=[c，x]∪[x，y>x]中变域为A的x由小到大遍取A一切数x时Q的子区间[c，x]的长度由=0开始逐渐变长而长到包含A一切元x∈[c，x]，据中学的区间概念在包含A一切元的[c，x]（x的变域是A）之外必还有数y>x大于A一切数x。同样设d是A最大元，Q=.......。证毕。
据h定理4有最小元的 N各元n的后继y=n+1中必至少有一y=y0=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N的最大元，因其后继y0在N外。5000年都无人能识此Ω（与1∈N相隔无穷多自然数∈N）使中学一直将N外数误为N内数从而将H～N误为N的真子集N+，将N的真子（扩）集误为N，从而将无穷多假N误为N，进而将非可数集误为可数集。详论见[4][5]。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数，其倒数是一直用而不知的无穷小正数＜任何有穷正数ε。可见“没标准无穷大自然数”这一中学5千年数学“常识”其实是重大错误, 其使初等数学有几百年重大错误：将两异数列误为同一数列；进而使级数论有几百年重大错误：将两异级数误为同一级数。据h定理4R+各元x≥0的对应数y=x+1>x中必至少有一y>x在R+外而>R+一切元x，其倒数是无穷小正数。
数集A由一个个给定（固定）的数组成。“在A内任意取定一个数x”中的x可是A的任何元，因x是在A内任意取的数。对百年极限论最关键要弄清j式“0＜正无穷小ρ＜‘任意取定’的正数ε”中的ε是在哪一范围内任取的数？是在区间（1，∞）内任取？还是在（0，1）内任取”？...？至少能代表两个数的字母是变数，因ε可=0.1也可=0.2等等故ε是变数。凡变数必有变域，能由j式中的ε代表的数的全体就是ε的变域，可记为∑。所以极限论中的ε是在∑内任意取定的数。若x∈∑则称x是有穷正数。若标准正数x＜∑任何元ε则称x是标准无穷小正数（其倒数是无穷大正数），正如非标准分析将＜R任何正数的正数x称为非标准无穷小正数一样。若y/x≠无穷大（小）数就称y≠0与x≠0是同一层次的数，简称同层数，否则，是非同层数。不同层次的非0数有无穷大的差别。量变引起质变，一说到“无穷”就有质的对立的根本区别了。
要注意变集与固定集的区别。A的元若有增（减）则必使A变为其真扩（子）集。不断增元（项）的数集（列）A是变数集（列），故若A是固定的，则A的元（项）是没有任何增减的。其项不断由n个增加到n+1个的数列是变数列B：由{0}变到{0，1}变到{0，1，2 }变到…，当且仅当其项不再增加而有末项时B才成固定数列N。“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个项的固定数列，“实无穷”观认为有此类数列，但又断定其没末项；这是不合逻辑的自相矛盾。由小到大取值且变域为无穷集W=[a, b]的x必有最后一次的取值即其取数过程是有完有了的（“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个元的集）。这是“无穷”与“有穷”的对立统一性在数学中的生动体现。同理，人不能遍取N一切数但人所创立的符合实际的抽象理论中的变数n≥0却能由小到大遍取N一切数，正如人造的机器人能干人所不能干的事一样。对人（对n≥0）而言N内数多得取之不尽（多得可取尽）。所以真正的无穷集N是“有穷”与“无穷”的对立统一体，它的“无穷”是对人而言而非对变域为N的n≥0而言。所以不能认为 “固定的无穷数列N有末项是不合逻辑的自相矛盾”；恰恰相反，“N无最大元”才真正是不合逻辑的自相矛盾。抽象的R轴上有抽象的点x=Ω。
A=[0，b]⊂R轴的点x=b沿R轴正向移动就使A不断增元变为其真扩集B，当点x=b与点x=0的距离是无穷大时B就变为射线；若点x=b总是移动则射线B就不是固定的点集而是不断增元的变集，当且仅当其不再移动时B才是固定点集。
七、作为“实无穷”点集的直（射）线其实是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）前后有不同的长短——直线公理及由其推出的“定理”严重歪曲了事物的本来面目
（0，1]⊂R有“更无理”最小元⊕的理由：
⑴A=（0，1]⊂R有元x>0因不“太小”而必可k>1倍于别的元∈A从而满足e式：x>y=x/k∈A（x=ky>y∈A）；即在各比x小的正数x/k中至少有一x/k∈A。A一切满足e式的元x组成B⊆A，问题是A是否有不满足e式的“太小”正数xÏB？因B各元x>x/k∈A故B各元x可变小为y=x/k∈A。有最大元x=1的B各元x保序变小为y=x/k∈A（不一定按同一变换法则变小即分母k可随分子x的取值的不同而不同）组成C={y}⊆A,据h定理4C必至少有一元y=y0∈A在B外而＜B一切元x,这B外y0是A中不满足e式的“太小”正数——小到使各比y0小的正数y0/k均ÏA从而使y0是A最小元y0=⊕。
⑵自由落体的高x≥0是由大到小取值的变数。⊥地平线的R轴即x轴的原点x=0在地平线上，由大到小取值的动点x≥0到点x=0的距离是x≥0，当且仅当距离=0时动点x与点x=0重合。稍有一点头脑的人都知道由大到小取值的“距离函数x≥0不取尽变域U的一切正数就绝不能取0即必取到无正数可取了才取0;然而有数学定理断定此x由1→0时总与0至少相隔一正数如x/2∈U而始终不能取到无正数可取——从而更不能取0——尖锐矛盾——由数学定理竟推出数学的动点、物理的质点根本不能动!运动存在的事实决定了R轴必有最小正数点。另一方面因轴是连续的，故沿轴动的点x从原点O→x=1处不经过与O只相隔1个、2个、…有穷多个点∈轴的阶段就绝不可进入与O相隔无穷多个点∈轴的阶段，但有数学定理断定动点能到达的各正数点位置x都与O相隔无穷多个正数点∈轴——显然抹杀了x有序渐变的连续变化性（1999.11《扬子晚报》等报曾报道称黄乘规‘成功论证了数学史上关于不可分割的连续体的猜想’）[7]。”。而且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。
文[6]指出数学一直存在：连续运动悖论；显然发现⊕才能真正消除2500年芝诺悖论及与之类似的悖论。
R有“更无理”最大元R的理由：
R一切≥1的数x≥1组成Z⊂R。将>x的数称为x后面的数。Z有元x≥1因不“太大”而满足f式：x<kx∈Z；即在x后面的数y=kx（k>1）中至少有一数y∈Z。Z一切满足f式的元x组成B⊆Z，B各元x可变大为y=kx∈Z。有最小元的B各元x∈Z保序变大为y=kx∈Z（不一定按同一变换法则变大即...）组成C={y}⊆Z,据h定理4C必至少有一元y=y0∈Z在B外；这B外y0是Z中不满足f式的“太大”正数——大到使y0后面的数ky0均ÏZ从而使y0∈Z是Z⊂R最大元y0=R。
发现R说明作为“实无穷”点集的直（射）线A其实是无穷长直线段从而使其伸长（收缩）变换前后有不同的长短，且A沿本身平移后就≠A了。
研究图形A的投影T非常重要，T随A的连续运动而连续运动。电灯在断电之前一直都那么亮，而一直通着电的手电筒的光亮度d是随着电池的电量的减少而逐渐变小直至变到d=0；后者是有序渐变。复平面z=x+iy的x轴即直线z=x绕点z=0逆时针旋转θ角（00≤θ≤900）变为直线B：直线z′=x（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=u+iv（相应有u=xcosθ轴），θ=00时直线B=x轴而在x轴的正投影T=x轴，θ由00→900使B由∥x轴变到⊥x轴，B在x轴的正投影T随之就从T=x轴开始连续不断地收缩变换成T=u（=xcosθ）轴（0≤收缩系数cosθ≤1），最后缩成“一点” T=u=xcos900=0。T由=x轴（长度是无穷大）开始收缩变短最后缩短到只有一个点的长度，这种有序连续变化的变化规律必是逐渐变短：T先与x轴有较小的长度差别（θ≈00时）然后再有较大的长度差别，再后有无穷大的长度差别，最后缩短成“一个点”。这就使x轴必有缩短为原长度的1/n（n≥2）的阶段。所以x轴不经过缩短至=区间[-1,1]⊂u轴等的阶段就绝不可进入最后缩短至“变为一个点”这一阶段，正如可=0的有序连续变化的变数x由正数变为负数时必先=0然后才能=负数一样，正如一人不经过儿童期就绝不可进入少年期一样。可见连续运动、变化的有序渐变的性质从一侧面间接表明x轴收缩成u=xcosθ轴（正常数cosθ<1）必短于x轴。直线公理断定直线T=x轴在缩短成“一点”之前的各次收缩变换后总=x轴（注：运动的直线可暂时固定一下），无异于断定T的收缩变化不是有序连续变化。这公理严重歪曲了事物的本来面目，正如“一个什么都不懂的婴儿在变为科学家之前的几十年间一直≡婴儿，只要其达到一定年龄就突变成科学家。”严重歪曲了事物的本来面目一样。由错误的公理推出的“定理”必是伪定理。
八、不识“更无理”数⊕就不能从数、数量关系的高度上来阐明近似计算常识——R远不够用
高等数学是研究变量的,需研究两非0变数例△y与dy能否近似相等?正变数β=α+ (β-α)中的差β-α=δα若=0则β=α，若≈0（与α≠0相比）则β≈α+0；说δα能不受任何限制地距0任意近就是说α与β能趋于重合相等没差别（从而有β≈α+0）使α/β能→1。显然说δα的变域是区间（0，1]等，就是说δα必能距0任意近，因其能取一切≤1的正数等。β与α总不近似相等的原因是它们的差δα总距0远而不近从而不可视其为0而忽略。
直线段L：α β两端点α（点的坐标）与β=α+δα总不能近似处于同一位置的唯一原因是长为|δα|的L总太长——长到使α≈α+δα总不成立。显然存在动点α的某充分小邻域U使U内各≠α的动点α+δα均≈α。显然若可→0的δα遍取R一切非0数都远不可有β≈α则必说明R各非0数相比下都距0极远——间接说明R远不可包含一切非0数。肉眼看两星星近似处于同一位置，但用天文望远镜看两星相距甚远。在光年尺度下北京与广州近似处于同一位置，但在公里尺度下两地相距极远；只识光年尺度是远远不能满足实际的需要的。同样在某“更无理”尺度下有两动点α与β=α+δα的非0距离|δα|（→0）虽＜“任意取定”的正数ε，但β≈α却远不成立。对表示距离的正数的大小不能只有一知半解的肤浅认识。
R轴的射线R+各元点x≥0不保距平移变为点y=x+δx=x2≥0组成元为点y的｛x2｝=Y（不≌R+）叠压在R+上。“A=[0，1]⊂R+各元x不保距变为y=x+δx=x2生成元为y的B(不≌A）=[0，1](⊂Y) =A”这一中学几百年函数“常识”其实是肉眼直观错觉。A有最小正数元x=⊕（是＜任何ε的标准无穷小正数）而无穷大倍于B的最小正数元y=x2=⊕2（1/⊕是无穷大数）。
高精确度的近似计算中凡有正实变量不可忽略必表明其相比下总距0极远使其变域Π各数相比下全都是极大正数从而必有（未知）正数<Π所有数，因有大必有小。y=x2+x中变域为D=（0，0.0001]⊂R的一次项x（正无穷小）→0是y的主部而总不可忽略说明D各数x≫x2>0相比下全都是不可忽略的极大正数——间接表明必有正数<D所有数。此正无穷小x→0的一面掩盖了其有相比下总距0极远的无限变大的另一面：x/x2=1/x→∞显示变域为D的分子x→0与分母x2相比越变越大，无穷变大；不识“分子也是无限可分的”就不知分子也有“无穷大”的另一面，不识“更无理”数使人们不能察觉x→0有总极大不小的另一面而误以为其能任意变小。鲜明对比的是差y-x=x2→0就可距0充分近——近到可视其为0使有y=x2+x≈x的程度，从而使tanθ=y/x≈x/x=1,θ≈45°（抛物线段y=x2+x≈直线段y=x，x∈D）。可见“D=（0，0.0001]，R包含一切标准实数”这一中学几百年函数“常识”与近似计算常识激烈“打架”。可见不识⊕就不能从数、数量关系的高度上来认识与阐明近似计算常识从而对近似计算只知结论不懂原理。坚持认为“y-x2=x→0必能小到可视其为0而忽略使有y≈x2+0的程度”是非常低级错误。小学生都知大小悬殊的两正数：y=x2+x（正数x≪1）与x2是远没近似相等的关系的。误以为y≈x2就会误以为tanθ=y/x≈x2/x=x≪1，进而误以为θ≈0°。
x>0与y>0可变小为一“微分直角△”的直角边的长，小学生都知若x千万倍于y则x与y远没近似关系。近似计算常识：约万倍于y=α/104的x=α+α/104=α（1+1/104）≈α>0与y总远无近似相等关系的原因是差x-y=α>0（变域是R+-｛0｝）总距0极远——说明R+各正数α≫α/104>0相比下全都是极大正数——间接说明R+远不可包含一切标准正数；而⊕≫⊕/104≫⊕2≫⊕3≫...≫...>0就直接说明此事实凸显中学几百年“常识”：“R+含一切标准正数”是重大错误。
若A各点x与B各点x+δx可一一对应近似相等则A≈B。需研究点x=⊕与点y=⊕+δ⊕是否近似处于同一位置（而≈重合）？当点y=⊕+⊕/104≈⊕时其≈点x=⊕，当点y=⊕+⊕不≈⊕（δ⊕=⊕＜ε与y的首项⊕相比并非微不足道而可忽略）时其完全在位置x=⊕之外了。
九、不识⊕使300年微积分一直存在尖锐自相矛盾。
不识⊕与R使中学几百年解析几何一直将无穷多各异直线误为同一线：R轴；继而将无穷多各异平面误为同一面，再继而将无穷多根本不是R×R面的子集误为其子集。
R各元x变为cx=y（正常数c≠1）生成元为y的集可记为cR=｛cx｝。R轴与cR轴分别有最小正数点⊕及c⊕使R轴≠cR轴。发现⊕与R说明R×R平面是边长为2R的无穷大正方形且说明平面上过原点x=y=0的直线中除了R轴和直线y=±x是平面的子部外，其余直线都R×R，而定义域为R且过原点的连续曲线y=y（x）都R×R；......。定义域为R的直线y=kx（正数k≠1）中y的值域是kR≠R说明该线R×R。用钢笔在人体上画出的图形不可是人体皮肤的一部分;同样，附着在R×R上的直线y=0.5x不是该面子部,附着在R轴上的上述线段D′⊂0.5x轴不是R轴的子部D；所以附着在R轴上的点不一定是R轴的元点使其位置坐标不一定∈R；...。
不知光滑曲面的充分小子部≈相应切平面块就没有曲面积分论。曲面z=y+104x2-x2（z的麦克劳林级数是z本身）的切平面是z=y+0x=y，切点是原点O（0，0，0）。微积分有“△z≈dz”论：定义域是R×R面的点函数：曲面z=f（x，y）≈y（切平面z=y），在点（x，y）=（0，0）的某充分小去心邻域U⊂R×R内，即若（x，y）∈U则z=f（x，y）≈y。当点（x，y）中的y=x2>0时z=y+104x2-x2=104y≫y=x2>0即z=104y>0万倍于y=x2使z≈y=x2>0远不成立。据“z≈y”论抛物线q：y=x2>0的各元点（x，y=x2）都在U外，然而微积分又断定q⊂R×R面从而U必含q的点。这就构成300年微积分一直不能化解的“△f≈df反例”尖锐自相矛盾。症结是中学几百年重大错误a：断定定义域为R+的y=x2≥0的值域也=R+。其实由点（x，y=x2>0）=（⊕，⊕2ÏR）ÏR×R就知qR×R。若“△f≈df”论不成立则以其为依据建立的曲面积分论也不成立。尖锐矛盾是否存在的问题是“光身皇帝”是否光身的问题。“大人”们坚持说104y≈y>0成立无异于说104y/y≈y/y=1；小学生都不会犯的错误啊！
需研究函数在一点邻近的性态。△z=dz/1!+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂的M=△z-dz>0时曲面z在切面的上方，<0时z在切面下方。微积分断定非0函数M（△x，△y）=d2z/2！+d3z/3！ +…能高精度地与首项近似相等从而与首项同号，在点△x=△y=0的某充分小的（去使d2z=0的点）邻域I内。所以有：定义域是R×R的z(x ,y)=y2-9x4（z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y=0，切点是原点O）与首项y2>0同号使zy2=（y2-9x4）y2>0………A,在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。将y2=x4>0代入A式则该式不成立说明曲线y2=x4即y=x2>0的元点都ÏI！误以为其有元点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z中以元点O为心的充分小子部中各除y=0的元点都在切平面z（x，y）=0的上方。然而微积分又断定I必包含曲线y=x2>0的元点从而构成300年尖锐自相矛盾。症结是上述中学重大错误a。
自相矛盾的理论是有头脑人无法接受的理论，从而极难学难教。
十、2300年“点无大小”公理使几何学一直不能自圆其说
发现⊕说明R有相距最近而紧挨在一起的元：x 和x±⊕，两者之间的距离是⊕。所以R各元x均是⊕的整数倍即x=h⊕（h是整数）。所以中学的“开区间（1，2）⊂R”其实是闭区间[1+⊕，2-⊕]⊂R；...。可画在黑板上的“动点”是数学的研究对象，凡是可视者必有大小（可小到须放大许多倍才能被眼睛看见）。所以数学图形应是肉眼直接可见或可用放大镜（可是思维放大镜）放大到肉眼可见的“东西”。“没大小从而没形象的点能聚集成（运动生成）有形象的直线”显然是不合逻辑的自相矛盾概念。数形结合须跃出根本误区。注：质点p从R轴的位置x=0处出发沿轴正向运动，当与出发处相距1+⊕/2时其位置坐标是R外正数，...。
挖去x轴全部点，x轴就变成位置洞集。“长度都=0的位置洞能形成长≠0的洞集”是不合逻辑的。暂时规定x轴各元点不可重叠(合)在同一位置上等使沿x轴移动的相应元点只能移动到空位内；x轴没空洞使各相应元点能沿轴移动的最大距离是0，正如挤满人的电梯内的人都没运动的空间一样。挖去x轴原点x=0就空出一位置洞x=0（可供点运动的空间），这有洞x轴的线段D=（0，1]⊂有洞x轴各点x沿轴负向保距平移一个点的长度距离⊕到空位内变为点x′=x-⊕形成元为点x′的线段[0，1-⊕]⊂相应轴从而又生一新空位x=1（点x=1移到空位x=1-⊕内就出现新的空位x=1），D所平移的距离⊕是容纳原点的位置洞的长度。“⊕=0”就是说D能沿轴移动的最大距离是0即1-⊕=1。这与事实不符——产生科学悖论的原因。D若没平移就不能使原有的空位x=0内又有点了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不识未知正数⊕就否认D可平移的事实。故“点无大小”是不合逻辑的自相矛盾概念(这是数形结合出现“直线段全部点可与部分点一样多”“分球怪论”等形形色色怪论的根源)。故须提出符合客观实际的“点”概念。“点”的问题是点集论与几何学的最根本问题。
以上说明R轴可由长度均为⊕的点及位置洞组成，两紧挨着的元点（位置洞）之间的距离是⊕。两紧挨着的元点中的一点不可动，另一点可移动，因被压缩使这两点的距离ρ由=⊕变小为=⊕/2等，则可移动的点的部分“身子”被压进另一点的位置Ψ内，若整个身子都被压进Ψ内则ρ由=⊕变为=0。因“在Ψ内（外）的元点”是指整个身子都在Ψ内（外）的点，故存在既不在Ψ内又不在Ψ外而是介于这两者之间的点。显然x轴的元点x与一位置洞的距离≥⊕才能在该洞之外。若一个点的整个身子不能都在平面的位置“洞”内则其不能是该面的元点；与R轴元点x重合的质点x沿轴平移变为点y=x+δx=x+⊕2不可与R轴任何元点重合，因其绝大部分身子还在位置x内。不明此真相就会将附着在R×R面（或R轴）上但又不是其子部的点集误为其子部。数形结合须跃出根本误区。
十一、结束语
“少年弱则国弱”。国家与家长都希望中学生受到良好的而不是错误的教育。没思维望远（显微）镜的“肉眼”数学被无穷对象中的假象迷惑从而陷入以井代天和张冠李戴的“井底蛙”误区。显然真正建立在病态集论之上的理论必是错上加错的更重大错误。“人类最伟大创造”：百多年集论百多年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失。所以不能不拨乱反正地跃出“井底蛙”误区创立“井”外数学，但限于篇幅本文无法详谈。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从目光太短浅的肉眼数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[8]”。备注：本文是原文的压缩稿，原文已在“预印本”上公布。
参考文献
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[3]张喜安。康托集合论的错误的证据[J]，数学大世界(中旬)，2018（7）：89。
[4]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。
[5]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[6]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。
[7]黄小宁。“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误——证明实数轴有最小、大正数点推翻百年集论[J]，科技信息，2011（17）：38。
[8]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社，1996：188。
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