康托展开（八数码问题）

定义：

把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n] ∗ *(n-1)!+a[n-1]∗*(n-2)!+…+a[i]*(i-1)!+…+a[2]*1!+a[1]*0![1]
其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始），并且0<=a[i] < <script type="math/tex" id="MathJax-Element-119"><</script>i(1<=i<=n)

应用

求一个数字串排列在字典序下的编号（即第几个）。当然也可以倒着用，即给你编号求数字串。
可以对一些算法进行优化，有点hash的味道。

实现：

①求一个数字串排列在字典序下的编号：

其实定义里头的那个公式求的就是排列a之前的排列数。代码模拟一下即可。
这里采用的是递归实现：

long long dfs(int x){if (x>n)return 0;long long sum=0;int num=0;for (int i=1;i<a[x];i++)if (!f[i])//如果这个数并没有出现过num++;f[a[x]]=true;sum+=num*jc[n-x];//jc[i]即i的阶乘sum+=dfs(x+1);//递归return sum;
}

②倒着用：

反过来想，对于当前的编号n，我们要取的数。
不难发现，第n位的数即为num/jc[sum-n]。

仍然为递归实现：

void dfs1(long long x,int num){if (num==n){//因为题目要求行末不能有空格for (int i=1;i<=n;i++)//最后一个数字其实已经确定，即仍然没有出现的那个if (!f[i]){printf("%d",i);break;}return;}int dd=x/jc[n-num];int now=dd;for (int i=1;i<=n;i++){if (!f[i])if (dd==0){printf("%d ",i);f[i]=true;break;}elsedd--;}dfs1(x-now*jc[n-num],num+1);//递归
}

③算法优化：

这里举一个最经典的例子：八数码问题。

给出一个3*3的矩阵，其中有一个格子是空格，其他都是数字，每次移动可以将格子附近的数字移到格子中，同时原先的数字变成格子。给定一个初始状态和最终状态，求最少步数。

当然，这道题的解法很多，但这里只讲康托展开。
简单的BFS的话是会T掉的，因为判重的问题。而康托展开在这道题中的作用就是判重。把3*3的序列转化为其字典序，就能够存的下了（jc[9]=362880，即有不到40万的状态）。判重也就能实现了。

代码（写的太烂，跑得比较慢，二维压成一维就可以省去我的calc的过程）：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 3
#define MAXM 400000
using namespace std;
const int t1[4]={0,1,0,-1};
const int t2[4]={1,0,-1,0};
bool num[MAXM+5];
int que[MAXM+5][2];
int a[MAXN+5][MAXN+5],b[MAXN+5][MAXN+5],jc[MAXN*MAXN+5];
int n=3;
bool f[MAXM+5];
int calc(int s[MAXN+5][MAXN+5]){int sum=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)sum=sum*10+s[i][j];return sum;
}
void fz(int s[MAXN+5][MAXN+5],int zhi,int &x,int &y){for (int i=n;i>=1;i--)for (int j=n;j>=1;j--){s[i][j]=zhi%10;zhi/=10;if (s[i][j]==0){x=i; y=j;}}
}
int jisuan(int x){//康托展开memset(f,false,sizeof(f));int s[MAXN*MAXN+5];for (int i=MAXN*MAXN;i>=1;i--){s[i]=x%10;x/=10;}int sum=0;for (int i=1;i<=MAXN*MAXN;i++){int num=0;for (int j=0;j<s[i];j++)if (!f[j])num++;f[s[i]]=true;sum+=num*jc[MAXN*MAXN-i];}return sum;
}
int main(){for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);//初始状态for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&b[i][j]);//目标状态jc[1]=1;for (int i=2;i<=MAXN*MAXN;i++)jc[i]=jc[i-1]*i;//算阶乘int r=0,w=1;que[1][1]=calc(a);que[1][0]=1;memset(num,0,sizeof(num));while (r<w){//BFSint xx[MAXN+5][MAXN+5];int x,y;memset(xx,0,sizeof(xx));if (que[++r][1]==calc(b)){printf("%d\n",que[r][0]);break;}fz(xx,que[r][1],x,y);for (int i=0;i<=n;i++){int p=x+t1[i],q=y+t2[i];if (p>=1&&p<=3&&q>=1&&q<=3){swap(xx[x][y],xx[p][q]);int l=calc(xx);int k=jisuan(l);if (!num[k]){que[++w][1]=calc(xx);que[w][0]=que[r][0]+1;num[k]=true;}swap(xx[x][y],xx[p][q]);}}}return 0;
}

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