矩阵的等价，相似，合同

转自http://blog.csdn.net/abraham_li/article/details/50058123
矩阵等价
定义：对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ
充要条件：A和B的秩相等
两个矩阵对应着两个不同的线性变换，但是这两个线性变换作用在同一个向量上得到的结果是一样的，则这两个矩阵等价。
即两个不同空间的同一个线性变换之间是等价关系。（空间不同，基不同）
综上所述，矩阵等价包含矩阵相似和矩阵合同。矩阵相似和矩阵合同有交集部分，这部分的矩阵既相似又合同。例如，对称矩阵和由其特征值组成的对角阵之间的关系（A=PBP^-1，A是对称阵，B是A的特征值组成的对角阵）就是既相似又合同的，实际上此时的P是正交阵，即P的转置等于P的逆。
矩阵合同
定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得B=PTAP
同一对向量在同一个空间的不同坐标系下的内积度量矩阵是合同关系
度量矩阵起到的作用应该是将一个向量映射到另一个向量上以进行内积运算，这个过程是一个线性变换。两个度量矩阵之间是等价的。
矩阵相似
比等价严苛
定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得B=P^(-1)AP
同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下对应的两个矩阵是相似关系
三者关系：
等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵
PQ=E 的等价矩阵是相似矩阵
合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵
正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵
合同矩阵未必是相似矩阵
相似矩阵未必合同
正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵
如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同

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