打砖块(brike)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/210249
来源：牛客网

题目

在一个凹槽中放置了\ n n 层砖块，最上面的一层有\ n n 块砖，第二层有\ n-1 n−1块，……最下面一层仅有一块砖。第 \ i i 层的砖块从左至右编号为1，2,\dots i1，2,…i，第i层的第j块砖有一个价值a[i,j]（a[i,j]\leq 50）a[i,j]（a[i,j]≤50）。下面是一个有5层砖块的例子：

如果你要敲掉第 \ i i层的第 \ j j 块砖的话，若 \ i=1 i=1，你可以直接敲掉它，若\ i>1 i>1，则你必须先敲掉第 \ i-1 i−1 层的第j和第\ j+1 j+1 块砖。
你的任务是从一个有n（n\leq 50）n（n≤50）层的砖块堆中，敲掉 (m\leq 500)(m≤500)块砖，使得被敲掉的这些砖块的价值总和最大。

解析

要选 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]那么至少要选 a [ i − 1 ] [ j + 1 ] a[i-1][j+1] a[i−1][j+1]
所以对于每个 d p [ i ] [ j ] [ k ] dp[i][j][k] dp[i][j][k]打完了第i行j列的那块砖，一共打了k块砖

d p [ i ] [ j ] [ k ] = m a x ( d p [ l ] [ j + 1 ] [ k − i ] + p r e [ i ] [ j ] , d p [ i ] [ j ] [ k ] ) ; （ i − 1 < = l < = n − j ) dp[i][j][k] = max(dp[l][j+1][k-i] + pre[i][j],dp[i][j][k]); （i-1 <= l <= n - j) dp[i][j][k]=max(dp[l][j+1][k−i]+pre[i][j],dp[i][j][k]);（i−1<=l<=n−j)
其中
p r e [ i ] [ j ] pre[i][j] pre[i][j]表示第j列第1行到第i行的砖块分数和

注意状态转移过程中
0 < = i < = n − j + 1 0 <= i <= n - j + 1 0<=i<=n−j+1

为啥i = 0 也要更新？因为存在最优解，第j列一块砖块都不打，但是j + x列，和j - y列打了的情况，所以要求dp[0][j][k]把的值，把值传递到j - y列

洛谷中这道题砖块数范围更大，dp数组开大点就行了

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 55;
ll dp[N][N][502];ll a[N][N];
ll pre[N][N];//前缀和int main(){memset(dp, 0x8f, sizeof dp);//每个字节都是0x8f，所以dp[i][j][k]一定都是负数int n,m;    cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n + 1 - i; ++j)cin >> a[i][j];for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n + 1 - i; ++j)pre[i][j] = pre[i-1][j] + a[i][j];dp[0][n + 1][0] = 0;for(int j = n; j; --j)for(int i = 0; i <= n - j + 1; ++i)// 为啥i = 0 也要更新？要考虑 第j列一个都不选的情况，需要通过dp[0][j][l]把值传递过去for(int k = i*(i + 1)/2; k <= m; ++k){ll t = -1e9;for(int l = max(i - 1,0); l <= n + 1 - (j + 1); ++l)t = max(t,dp[l][j + 1][k-i]);dp[i][j][k] = max(t + pre[i][j],dp[i][j][k]);}ll ans = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n - i + 1 ; ++j)ans = max(ans,dp[i][j][m]);cout << ans ;return 0;
}

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