引入

有2个鸡蛋，从100层楼上往下扔，以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎，在第10层摔碎了，那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。

问：如何用最少的尝试次数，测试出鸡蛋不会摔碎的临界点？

分析

注意：题目的一个隐含在该最少次数下，一定能测出。

完美解决这个问题的思路是先逆向假设存在一个最优解x，第一次就应该从x层开始扔。为什么要从第x层开始扔呢？

假设第一次扔在第x+1层：如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x层。这样一来，我们总共尝试了x+1次，和假设尝试x次相悖。由此可见，第一次扔的楼层必须小于x+1层。

假设第一次扔在第x-1层：如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-2层。这样一来，我们总共尝试了x-2+1 = x-1次，和假设尝试x次同样。

假设第一次扔在第x层：如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔(因为这是最后一个鸡蛋了，所以不能再冒险隔着楼层扔了)，一直扔到第x-1层。这样一来，我们总共尝试了x-1+1 = x次，刚刚好没有超出假设次数。

接下来第二次该如何扔呢？首先明确，扔第一次的结果有两种，一是鸡蛋碎了，那么接下来从第一层开始往上扔。二是鸡蛋没碎，因为总共要扔x次，之前已经扔了一次，所以接下来就还要扔x-1次，那么问题就转变成了在100-x层高的楼上，最少扔x-1次该如何扔了。按照相同的思路，就在x-1层扔咯，这里的x-1对应就是实际的x+(x-1)层。按照这个思路一直重复操作，最后一次扔的层数应该是第100层，于是就有了如下的关系式。

x+(x-1)+(x-2)+...+1=100

共有x项，解出来x等于14，这便是最终的答案。

正题

N个鸡蛋和M层楼，要找到鸡蛋摔不碎的临界点，需要尝试几次？

分析

假设dp[N][M]等于最坏的运气下最多需要测试的次数，我们第一次扔在x层，那么有两种可能，若鸡蛋碎了，那么有dp[N][M]=dp[N-1][x-1]+1，若鸡蛋没碎，dp[N][M]=dp[N][M-x]+1。我们想求的是“运气最差”情况下，即在最优方案下最多需要测试的次数，所以dp[N][M]应该等于max(dp[N-1][x-1]+1，dp[N][M-x]+1)。而注意，x是一个不确定的数，它的取值范围为(0<=x<=M)，x的取值决定了方案的优劣，若要方案最优，则需取最恰当的x值，即能令dp[N][M]最小，所以有

dp[N][M]=min{max(dp[N-1][x-1]+1，dp[N][M-x]+1) | 0<=x<=M}

上面的方程即为动态规划所需要的状态转移方程。

完整解题代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;//N个鸡蛋，M层楼
void solve(int N,int M){if(N<1||M<1)  return;//   定义记忆数组int dp[N+1][M+1];// 初始化记忆数组，令其等于其楼层数 for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=1;j<=M;j++){dp[i][j]=j;}}for(int i=2;i<=N;i++){for(int j=2;j<=M;j++){int tmp=dp[i-1][j];for(int x=1;x<=j;x++){
//              tmp存放1至x层时的最优方案次数 tmp=min(tmp,max(dp[i-1][x-1]+1,dp[i][j-x]+1));         }dp[i][j]=tmp;}}cout<<dp[N][M]<<endl;
}int main(){solve(2,100);return 0;
}

优化

要得到第N个鸡蛋时的答案，其实只需要找到N-1个鸡蛋时的情况，不需要把第一个鸡蛋到第N个鸡蛋时的情况全部记录，所以记忆数组自需申请dp[2][M+1]的空间即可。这样可以降低空间复杂度。

同类型题目：测试次数

x星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机。
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通。

x星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏，但第8层摔坏了，则手机耐摔指数=7。特别地，如果手机从第1层扔下去就坏了，则耐摔指数=0。如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏，则耐摔指数=n。

为了减少测试次数，从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

请填写这个最多测试次数。

注意：需要填写的是一个整数，不要填写任何多余内容。

分析

这是第九届蓝桥杯的题目，基本是换了一个马甲，思路和扔鸡蛋问题是一模一样的。如果做过扔鸡蛋的题目，那么肯定可以很块做出来，可惜我没有。。。

完整解题代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;int main(){
//  3个手机，1000层楼，存储对应的测试次数 int dp[4][1001];
//  初始化记忆数组 for(int i=0;i<4;i++){for(int j=1;j<=1000;j++){dp[i][j]=j;}}// for(int i=1;i<4;i++){for(int j=1;j<=1000;j++){
//          tmp暂存1至x层时的最优方案次数，初始化值为第i-1个手机，j层楼时的测试次数 int tmp=dp[i-1][j];for(int x=1;x<=j;x++){tmp=min(tmp,max(dp[i-1][x-1]+1,dp[i][j-x]+1));}dp[i][j]=tmp;}}cout<<dp[3][1000]<<endl;
}

运行结果是13。

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漫画：有趣的扔鸡蛋问题

漫画：动态规划解决扔鸡蛋问题

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