矩阵的基变换及对应基变换下向量的坐标变换

假设在世界坐标系中有两组基分别是 E 1 E_1 E1和 E 2 E_2 E2，两组基上分别有一个向量 X X X和 Y Y Y。那么：

对 X X X向量进行一次 A A A变换得到向量 Z Z Z，再对 Y Y Y向量进行一次 B B B变换得到同样得到向量 Z Z Z。
根据以上描述便得到：

X ⋅ A = Z = Y ⋅ B X\cdot A=Z= Y\cdot B X⋅A=Z=Y⋅B

将变换单独提出来表示：

X ⟶ A Z ⟵ B Y X\stackrel{A}{\longrightarrow} Z \stackrel{B}{\longleftarrow} Y X⟶AZ⟵BY

如果要让向量 X X X变换为向量 Y Y Y，那么从上面的过程可以看出来只需要进行如下操作：

X ⟶ A Z ⟶ B − 1 Y X\stackrel{A}{\longrightarrow}Z \stackrel{B^{-1}}{\longrightarrow} Y X⟶AZ⟶B−1Y

对应的矩阵操作就是：

X ⋅ A ⋅ B − 1 = Y X\cdot A\cdot B^{-1} = Y X⋅A⋅B−1=Y

令 A ⋅ B − 1 = C A\cdot B^{-1} = C A⋅B−1=C, 则 X ⋅ C = Y X\cdot C = Y X⋅C=Y，表示如下：

X ⟶ C Y X \stackrel{C}{\longrightarrow} Y X⟶CY

上面的意义就在于用一次变换 C C C表示了两次变换 A ⋅ B − 1 A \cdot B^{-1} A⋅B−1。

综合以上表述得到如下两个式子：

{ A = C ⋅ B X = Y ⋅ C − 1 \begin{cases}A=C\cdot B \\X=Y\cdot C^{-1} \end{cases} {A=C⋅BX=Y⋅C−1

上式中 A A A与 B B B之间的变换便是 E 1 E_1 E1和 E 2 E_2 E2的基变换，而向量 X X X与向量 Y Y Y之间的变换可以看出是在基变换下向量的坐标变换。

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