『分享』水平集算法简介（Level Set）

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水平集算法简介（Level Set）

一、水平集的定义

与实数c对应的可微函数f:R^n—>R的水平集是实点集{(x1, x2, ...,xn) | f(x1, x2,...,xn) = c} ，称可微函数f为水平集函数。

[举例]
函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2对应于常数c的水平集是以(0，0，0)为球心，sqrt(c) 为半径的球面。

当 n=2, 称水平集为水平曲线(LEVEL CURVE)。
当 n=3, 称水平集为水平曲面(LEVEL SURFACE)。

二、水平集的核心思想

Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出，最近十几年得到广泛的推广与应用。简单的说来，Level Set方法把低维的一些计算上升到更高一维，把N维的描述看成是N＋1维的一个水平。举个例子来说，一个二维平面的圆，如x^2+y^2=1可以看成是二元函数f(x,y)=x^2+y^2的1水平，因此，计算这个圆的变化时就可以先求f(x,y)的变化，再求其1水平集。这样做的好处是，第一，低维时的拓扑变化在高维中不再是一个难题；第二，低维需要不时的重新参数化，高维中不需要；第三，高维的计算更精确，更鲁棒；第四，Level Set方法可以非常容易的向更高维推广；最后，也是非常重要的一点就是，上升到高维空间中后，许多已经成熟的算法可以拿过了直接用，并且在这方面有非常成熟的分析工具，譬如偏微分方程的理论及其数值化等。当然，这种方法最为诟病的就是他增加了计算量，但新的快速算法不断出现，使得这也不是个大问题。

考虑两个分离的圆形火焰，都以一个恒定的速度向外燃烧（见图(a)），其界面的演化是可以预测的，当这两个分离的界面燃烧到一起时，演化界面合并为一个单独的转播前沿（见图 (b)），这种拓扑结构的变化使得离散参数化遇到真正的困难，因为要得到扩展火焰的真正边界，就必须从燃烧的区域中去除原属于两个界面的边界点。要想系统地确定这些点是一个困难的问题，然而一个窍门就是采用一个更高一维的空间，这就是水平集方法的基本思想。

三、一般性算法

水平集图像处理的这种思想方法直接形成了一种一般性算法
(1)设定水平集函数的初态；
(2)确定动力F的形式；
(3)按基本方程推演水平集函数的各状态；
(4)对于每一水平集函数的状态求解零水平集。

尽管具体技术细节千变万化，水平集图像处理的算法万变不离其宗，都是围绕上述
一般性算法而展开的。

Level Set的适用范围：

这儿只是列举一些经典的领域，但并不完全，如果你能在自己的领域找到新的应用，祝贺你。 Level Set最初始的应用领域就是隐含曲线（曲面）的运动，现在Level Set已经广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中的一些东西。

Level Set需要掌握的知识：

学习和应用Level Set需要掌握偏微分方程理论及其数值化方法，其中又应该着重掌握偏微分方程中的Conversation Law，The Theory of Viscosity Solution and Hamilton-Jacobi Equation及其数值化方法。同时，在学习Level Set的时候也会经常遇到变分法和测度论的一些内容，但对这两方面的要求不高，了解一下就行了。

Level Set的推荐读物：

（1） Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002). 评点：这本书是创始人之一Osher写的，这本书是论述Level Set的最完整的书籍之一，更偏重于数值化的高精度解，应用领域涉及图像处理以及计算物理。

（2） James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999). 评点：这是另外一个创始人Sethian的作品，与Osher的书互有侧重，互相补充，这本书更偏重于Fast Marching Methods,非结构化网格，涉及的应用领域更广泛。

（3） Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University.评点：这本书对理解Level Set也非常有帮助，它更偏重于图像中的几何特征，如曲率等，对几何偏微分方程介绍的比较详细。

（4） Gilles Aubert and Pierre Kornprobst，Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。这本书数学味太浓，一般人没兴趣读下去，但如果你确实想对你的方法奠定更好的理论基础，这本书就非常有用了，它可以指导你应该在哪方面下功夫。另外，这边书的前言和第一章写的非常好，非常值得一读。

总评：（1）和（2）是学习Level Set常备案头的手册，如果你想深入，（3）和（4）也应该看一看。

Level Set推荐文章

（1） Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton--J

（2） Osher, S. and Fedkiw, R., "Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results", J. Comput. Phys. 169, 463-50

（3） Richard Tsai and Stanly Osher，level set methods and their applications in image science，COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656评点：这篇综述内容更丰富些，结果也比较新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf可以下载。

总评：关于Level set的文章太多，无法一一列举，强烈建议到下面的网址逛一逛，那儿有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~ima

Level Set推荐网站：

（1） http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html评点：这是Sethian的网站，上面关于Level Set的论述非常多，分门别类

（2） http://www.math.ucla.edu/~imagers/ 评点：这是UCLA的研究组，由Osher创办，关于Level Set的新进展几乎都跟他们相关

Level Set的工具包：

http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html 评点：这是Michell开发的工具包，通用性比较好，缺点是自己修改起来非常麻烦

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