赌徒有10元，一次输赢1元，手头能到110元的概率

这是我前一些天看了算法导论，然后碰到的一个有意思的问题。

我保证这是本人原创的东西。

一道与赌博有关的概率问题

假设甲有10元，乙有100元，他们丢一次硬币输赢1元。最后要么甲输光结束游戏，要么乙输光结束游戏。

问题：甲赢光乙结束游戏的可能性是多大？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面是解答－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

如果甲和乙一共有5张，那么就会有以下关系。

下面的那个矩阵乘法有点挫（那个“X”表示矩阵乘法）不过，大概能表词达意。。。

解释一下，比如 A0 = 0 + A1/2 ,就是,如果甲有一张，乙有4张，那么如果是下一次硬币是甲猜对了，概率是1/2，结果就是A1/2,如果是乙对了(他们两个的答案必须不一样)，那么概率是 1/2，对甲赢的贡献是0*1/2 = A0；

同理，如果甲有2张，乙有3张，那么如果下次甲猜对了，那么，概率是1/2，情况就变成了甲有三张的情况（3:2）贡献是 1/2*A0, 不然如果甲输了，概率是1/2情况就变成了甲有一张的情况，贡献是 1/2*A2.

所以整体的概率就是A1 = A0/2 + A2 / 2...

所以甲有10张，乙有100张时，就是一样的啦，像上面表格那样表示，然后化成矩阵乘法，，，当然因为本题高度对称，感觉可以推出通项公式之类的。。

解答本题目时要注意这是个三对角矩阵乘法，用算法导论第3版第28章的思考题28-1的东西来干这个很给力，时间复杂度是O(n+m) 其中n是甲的张数，m是乙的张数。

更加高级的解法

由于一共有5张时，求出来的A0,A1,A2,A3分别是 1/5, 2/5, 3/5, 4/5..
所以假定对于甲有A张，乙有B张，那么，甲赢的概率是 A/（A+B）。
然后考虑如果下一次甲输了，或者甲赢了，一共就是 A/(A+B) = (A-1)/(A+B)/2 + (A+1)/(A+B)/2 ...正好满足所有的约束，而且边界的两个约束也是满足的。。。
所以假设成立。。。
所以本题的答案是 10 / (10 + 100) 就是1/11

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－脑洞大开－－－－－－－－－－－－－－－－－－

借债赌钱

如果这个赌徒能够借债赌钱，也就是即使手头没钱了也能接着赌钱，那么最后能够回本，而且还了债务后手头能够到110元的概率是多少。

（假设赌徒可以无限赌钱。而且可以无限借债，而且债没有利息和时间限制）。

这个其实概率几乎就是1，也就是一定可以。

这个其实就是下面久赌必输的原理。

比如因为可以借债，其实等价于我们可以想象成赌徒甲有10000元或者更多钱n，那么这个赢下有限钱的乙的概率是 n/(n+100).

由于n可以到达无限大，所以这个概率几乎就是1，也就是说乙一定有时候会输完。

久赌必输

如果你是乙，只有有限的100元，面对一个有几乎无限钱的甲，即使一次输赢只是一块钱，那么只要你坚持赌下去，几乎，你输完的结局是必定的。几乎100%的久赌必输定理就在这里。

当然百度上面还流传着另一个证明方法：

假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).那么我们有：T(0) = 1T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。设T(1)的值为a, 那么显然0< a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)T(1) = aT(2) = 2a - 1T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2T(4) = 4a - 3...T(n) = na - n + 1.我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,一直下去，T(n) = 1. 证毕

这是百度搜索“久赌必输”，然后出来的第一个百度知道的解答，回答者凭栏看剑。大概意思差不多。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－做后感－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

当时我做的时候还不知道什么是马尔可夫链，什么是随机游走，后来有人告诉了我，后来，我就去看了些马尔可夫的知识，隐马尔可夫模型之类的，后来我就去看机器学习的书，然后现在跟着做机器学习东西。

凭栏看剑