【算法理论】bin packing 装箱问题

Bin packing（装箱问题）

Problem：给定n件物品和k个箱子，每一个箱子的容量为1，每一件物品的大小w为(0,1)，要求使用最少数目的箱子来装上全部的物品。

这个问题是NPC问题，只有approximation（近似）算法。

一个2-approximation的多项式算法。

算法：

先打开一个箱子，然后逐一放入物品，如果当前的物品没有一个已打开的箱子可以放入，那么就新打开一个箱子来装它。

算法是2-approximation的，证明：

假设最优解需要B*个箱子，上述算法需要B个。那么，考虑使用上述算法的完成情况，至少会有B-1个箱子是半满的（箱子使用了多余一半的容量），这是因为，如果有两个箱子使用量不足一半，那么根据算法，后一个箱子的物品要被放入第一个箱子，因此上述结论正确。那么全部物品的总量S>(B-1)*0.5，即，B-1<2*S，又考虑到B是整数，则B-1<=B，因此有B<=2*S，而S<=B*，所以B<=2*B，因此是2-approximation算法。

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