一、前言

1. 什么是非线性

借助胡克定律可以理解线性问题，如一个弹簧单元遵守如下的方程：

F=K×u

线性结构

结构的变形与受力始终是线性关系，结构的刚度在整个计算过程中不发生变化。但是在非线性问题中，结构的刚度不是一成不变的，它可以随着一些原因发生改变，如下图所示，其中Kt称为切向刚度。

非线性结构

1. 非线性的原因

那么哪些因素会导致结构产生非线性呢，有如下几点：

1. 几何结构发生大变形，从而导致刚度不再符合线性关系，这种情况属于几何非线性；

1. 当材料的应变超过了弹性极限，即应力-应变曲线不再服从线性分布，这种情况属于材料的非线性；

1. 结构的状态变化导致的非线性，这种情况属于接触非线性；

本文主要对有限元分析中的几何非线性问题进行描述。

在有限元分析中，几何非线性可以表现为大应变(单元形状发生变化引起的非线性)，大挠度(网格单元的方向发生变化)，应力钢化(在有应力的状态下，结构某向刚度显著增大)，旋转软化等。

上述非线性对应的工程问题如下：

1. 大应变：如橡胶，海绵的受力变形，金属的塑性成形等；

1. 大挠度：如承受压力的薄壁容器，鱼竿等细长的悬臂梁结构端部承受竖直向下的载荷；

1. 应力钢化：如悬索，吉他等弦状结构，不承受轴向力时横向刚度约为0，当承受轴向拉力时横向刚度显著增大；

1. 旋转软化：用于高速旋转的物体；

二、工程分析

几何非线性问题在工程中的失效形式主要表现为：失稳。那么在有限元分析中，要如何应对几何非线性问题，以及该类分析与线性分析在哪方面存在不同呢？

在Ansys Workbench中，相比于线性分析，对于几何非线性问题需要做如下处理：

1. 前处理

几何模型

• 在几何模型处，需要确定本次分析使用的积分方式(完全积分或缩减积分)，一般默认即可。

将单元控制改为"手动"，点击模型树中的零件，可选择积分方式。

网格属性

• 若预感网格会出现大应变，在分析复杂模型时可选择"非线性机械"，划分出的网格质量会高于默认；

• 网格质量检查可选择"强力机械"，使网格检查更为严格，提高网格质量；

注：网格设置在几何非线性分析中不是必须的，可根据实际情况进行调整。

• 积分单元与单元阶数：

在线性分析中，积分点的应力、应变结果是由节点解外推得到的；

在非线性分析中，积分的的结果是由节点解复制得到的；

使用完全积分可解决大多数问题，但也会导致剪切自锁和体积自锁;

为解决上述两个问题引入缩减积分，但缩减积分也会出现沙漏效应；

为避免沙漏，可以采用高阶单元或加密的低阶单元（厚度至少3层）。当厚度方向上只有一层单元时，使用完全积分单元有利于提高精度。

材料属性

• 在不考虑材料非线性的情况下，与线性问题的设置保持一致即可。

求解设置

Ansys使用线性求解器进行非线性求解，将载荷分为一系列增量形式并逐渐施加载荷，同时在每 一载荷增量结束时调整刚度矩阵—牛顿法。因此，需要设置载荷增量(即载荷子步)，求解控制与收敛准则。

• 步控制：开启自动时步，分别设置初始子步，最大子步和最小子步

例：初始20，最小10，最大100，则第一步施加总载荷的1/20，之后每一步施加总载荷的1/10~1/100，当施加了全部载荷并收敛时，完成计算；

• 求解器控制：与线性分析相比，需要设置的参数如下：

1）求解器类型:直接法和迭代法，直接法即稀疏矩阵求解器，稳定性更好，建议用于非线性更强和具有非连续性单元（壳单元和梁单元）的模型。迭代法（PCG）求解器效率更高，建议用于以线弹性为主的大 体积实体模型。求解非线性问题时，可选用直接法，或程序控制；

2）大变形：非线性分析中必须要开启大变形，大变形是一种算法，它考虑了结构变形后的刚度矩阵重建。一般情况下，对于普通精度要求的问题，变形超过5%或转角超过10°时，建议打开大变形开关；

• 非线性控制：需要设置计算方法以及收敛准则

1）牛顿法：用于指定求解过程中刚度矩阵的更新频率，完全法即每次迭代都更新刚度矩阵，非对称法与完全法一样每次更新刚度矩阵，不同的是它还生成非对称矩阵，适用于非线性很强的情况，比如摩擦系数＞0.15。非对称也将比完全法消耗更多的时间和资源。如果使用完全法收敛困难，可以修改为非对称将更有利于收敛。

2）收敛准则：主要使用力收敛准则(指残余力收敛)，位移收敛用于相对检测，当模型存在转动时，需要力矩和旋转收敛。因此分析实体或2D单元时，使用力+位移收敛，分析梁或壳单元时，使用力+位移+力矩收敛。一般情况下，均使用程序控制即可，当计算难以收敛时，可仅保留力收敛，关闭其他；

3）线搜索：

4）稳定性：用于处理屈曲问题和局部屈服；

• 重启动控制：中断求解，修改已有参数的设置，从保存点继续开始求解；

1. 后处理

求解方案信息

• 通过求解器输出信息可以查看整个求解过程；

• 通过力的收敛信息可以查看加载与迭代过程；

残余力的查看

如下所示，Newton-Raphson残余设为5，计算完成后可查看最后5次迭代是的残余力计算结果，若计算结果未收敛，可通过残余力的云图找到出现问题的位置，进行相应修改。

附1：牛顿-拉夫逊(牛顿迭代)法

在Ansys Workbench中，牛顿法的计算原理如下图所示，第一次迭代，施加总载荷Fa。得到位移结果x1。根据位移，算出内力F1 。如果Fa≠F1，系统不平衡。因此，根据当前的条件，计算新的刚度矩阵（虚线的斜率）。 Fa-F1的值称为不平衡力或残余力。残余力达到足够小时，求解收敛。因此，需要在1个载荷步内设置若干子步，逐级子步加载最终达到收敛。

附2：几何非线性的分析算例

基于workbench的弹簧几何非线性分析

软件版本：2022R1