离散时间模型可表示为如下形式：

$\mathbf{x}_{k+1} = \boldsymbol{\phi}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{w}_k$

$\mathbf{y}_k = \mathbf{B}_k\mathbf{x}_k $

其中：

$\mathbf{x}_k$: $t_k$时刻的状态向量

$\boldsymbol{\phi}_k$: 状态转换矩阵

$\mathbf{w}_k$: 零均值时间不相关序列

注意：对同一时刻$t_k$，状态向量各元素$\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\ldots$一般是相关的。将$\mathbf{w}_k$的协方差矩阵记为$\mathbf{Q}_k$。

如果离散时间模型是通过对连续时间模型采样得到的，我们需要求解连续时间状态方程以得到离散时间模型中的各参数（$\boldsymbol{\phi}_k,\mathbf{w}_k,\mathbf{Q}_k$等）。

连续过程方程如下：

$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Fx} + \mathbf{Gw}$

设采样时间点为$t_0, t_1 \ldots, t_k, t_{k+1} \ldots$，可得方程在$t_{k+1}$时刻的解为*：

$\mathbf{x}(t_{k+1}) = \boldsymbol{\phi} (t_{k+1}, t_k)\mathbf{x}(t_k) + \int_{t_k}^{t_{k+1}} \boldsymbol{\phi}(t_{k+1},\tau) \mathbf{G}(\tau) \mathbf{w}(\tau)d\tau$

*现代控制工程.第四版.Katsuhiko Ogata.708.

将这个式子和前面离散时间模型的式子对比可看出，两者具有相似的形式，即$ \boldsymbol{\phi}_k$就是$\boldsymbol{\phi} (t_{k+1}, t_k)$，是从step$t_k$到step$t_{k+1}$的状态转换矩阵；$\mathbf{w}_k$是在${t_k,t_{k+1}}$间隔内由输入端白噪声驱动的响应。

$w_k$的协方差矩阵可计算如下：

$\mathbf{Q}_k=E[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^T]$

$=E\big\{   \big[ \int_{t_k}^{t_{k+1}} \boldsymbol{\phi}(t_{k+1}, u) \mathbf{G}(u) \mathbf{w}(u)du \big]  \big[ \int_{t_k}^{t_{k+1}}\boldsymbol{\phi}(t_{k+1},v) \mathbf{G}(v) \mathbf{w}(v)dv \big]^T   \big\}$

$=\int_{t_k}^{t_{k+1}} \int_{t_k}^{t_{k+1}} \boldsymbol{\phi}(t_{k+1}, u)\mathbf{G}(u)E[\mathbf{w}(u)\mathbf{w}^T(v)]\mathbf{G}^T(v)\boldsymbol{\phi}^T(t_{k+1},v)dudv$

我们用下面的系统作例子。

$w(t) \longrightarrow \bigg[\frac{\sqrt{2\sigma ^2\beta}}{s+\beta}\bigg]  \longrightarrow \bigg[\frac{1}{s}\bigg] \longrightarrow y$

上图中，$w(t)$是单位白噪声，经过系统$\bigg[\frac{\sqrt{2\sigma ^2\beta}}{s+\beta}\bigg]$之后得到Gauss Markov process $x_2$，再经过积分$\bigg[\frac{1}{s}\bigg]$后得到integrated Gauss Markov process $x_1$，$x_1$同时也是系统最终输出的观察量$y$。

连续模型如下：

$\left[\begin{matrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0&1\\0&-\beta\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}0\\\sqrt{2\sigma^2\beta}\end{matrix}\right]w(t)$

$y=\left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]$