P7776 【模板】特征多项式题解

定理：相似矩阵特征多项式相同。

证明：|\rm PAP^{-1}-\lambda E|∣PAP−1−λE∣
=|\rm PAP^{-1}-\lambda PP^{-1}|=∣PAP−1−λPP−1∣
=|\rm (PA-\lambda P)P^{-1}|=∣(PA−λP)P−1∣
=|\rm P(A-P^{-1}\lambda P)P^{-1}|=∣P(A−P−1λP)P−1∣
=|\rm P(A-\lambda E)P^{-1}|=∣P(A−λE)P−1∣
=|\rm P|\times|A-\lambda E|\times |P^{-1}|=∣P∣×∣A−λE∣×∣P−1∣
=|A-\lambda E|=∣A−λE∣

考虑如何求出矩阵特征多项式。

朴素的消元方法由于涉及多项式运算，复杂度显然高于 O(n^3)O(n3)。

实对称阵可以相似对角化，但一般数域上的矩阵并不都能相似对角化，但可以消成如下类似对角矩阵的形式。

\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} \\ & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\ & & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\ & & & a_{5,4} & a_{5,5} \end{pmatrix} \quad⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1,1a2,1a1,2a2,2a3,2a1,3a2,3a3,3a4,3a1,4a2,4a3,4a4,4a5,4a1,5a2,5a3,5a4,5a5,5⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞

方法：构造初等矩阵 \rm PP 令 \rm A\leftarrow PAP^{-1}A←PAP−1 实现消元。

则用 a_{i+1,i}ai+1,i 消 a_{j,i}(j>i+1)aj,i(j>i+1) 时，左乘和右乘分别相当于进行初等行变换 R_{j}\leftarrow R_j+kR_{i+1}Rj←Rj+kRi+1 和初等列变换 C_{i+1}\leftarrow C_{i+1}-kC_jCi+1←Ci+1−kCj，由于 i<i+1<ji<i+1<j，可以注意到初等列变换不影响已消元部分，初等行变换仅影响当前要消的以及未消元部分。

化成如上矩阵后，可以轻易计算特征多项式。

考虑递推求解前 ii 行 ii 列的答案多项式 f_i(x)fi(x)。显然边界是 f_0(x)=1f0(x)=1。

观察矩阵可以发现，选取位于 a_{1,1},a_{2,2},\cdots,a_{j-1,j-1},a_{j,i},a_{j+1,j},a_{j+2,j+1},\cdots,a_{i,i-1}(1\le j\le i)a1,1,a2,2,⋯,aj−1,j−1,aj,i,aj+1,j,aj+2,j+1,⋯,ai,i−1(1≤j≤i) 的元素是唯一有贡献部分，其贡献为 -f_{j-1}a_{j,i}\prod\limits_{k=j}^{i-1}a_{k+1,k}(j<i)−fj−1aj,ik=j∏i−1ak+1,k(j<i)。后面这部分显然可以直接递推。特别地，对于 j=ij=i，有额外贡献 xf_{i-1}xfi−1。

于是我们可以 O(n^3)O(n3) 地计算出矩阵的特征多项式。

用途：写奇怪的 |\rm A-kE|∣A−kE∣ 多点求值板子。

据说可以加速矩阵快速幂，先咕着。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=502,p=998244353;
int a[N][N],f[N];
int n,i,j,k,x,y,r,q;
template<typename typC> void read(register typC &x)
{register int c=getchar(),fh=1;while ((c<48)||(c>57)){if (c=='-') {c=getchar();fh=-1;break;}c=getchar();}x=c^48;c=getchar();while ((c>=48)&&(c<=57)){x=x*10+(c^48);c=getchar();}x*=fh;
}
inline void inc(register int &x,const int y)
{if ((x+=y)>=p) x-=p;
}
inline void dec(register int &x,const int y)
{if ((x-=y)<0) x+=p;
}
inline int ksm(register int x,register int y)
{register int r=1;while (y){if (y&1) r=(ll)r*x%p;x=(ll)x*x%p;y>>=1;}return r;
}
void calmatrix(int a[N][N],register int n)
{register int i,j,k,r;for (i=2;i<=n;i++){for (j=i;j<=n&&!a[j][i-1];j++);if (j>n) {continue;}if (j>i){swap(a[i],a[j]);//exit(-1);for (k=1;k<=n;k++) swap(a[k][j],a[k][i]);}r=a[i][i-1];for (j=1;j<=n;j++) a[j][i]=(ll)a[j][i]*r%p;r=ksm(r,p-2);for (j=i-1;j<=n;j++) a[i][j]=(ll)a[i][j]*r%p;for (j=i+1;j<=n;j++){r=a[j][i-1];for (k=1;k<=n;k++) a[k][i]=(a[k][i]+(ll)a[k][j]*r)%p;r=p-r;for (k=i-1;k<=n;k++) a[j][k]=(a[j][k]+(ll)a[i][k]*r)%p;}}
}
void calpoly(int a[N][N],register int n,int *f)
{static int g[N][N];memset(g,0,sizeof(g));g[0][0]=1;register int i,j,k,r,rr;for (i=1;i<=n;i++){r=p-1;for (j=i;j;j--)//第 j 行选第 n 列{rr=(ll)r*a[j][i]%p;for (k=0;k<j;k++) g[i][k]=(g[i][k]+(ll)rr*g[j-1][k])%p;r=(ll)r*a[j][j-1]%p;}for (k=1;k<=i;k++) inc(g[i][k],g[i-1][k-1]);}memcpy(f,g[n],n+1<<2);
//  if (n&1) for (i=0;i<=n;i++) if (f[i]) f[i]=p-f[i];//这题特殊（A-kE），否则注释掉
}
int main()
{read(n);//read(q);for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) read(a[i][j]);calmatrix(a,n);calpoly(a,n,f);for (i=0;i<=n;i++) printf("%d%c",f[i]," \n"[i==n]);
}

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