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题解

先乘以16n−116^{n-1}16n−1

现在就是要计算小数后面第一位

假设16n−k=t(8k+1)+r16^{n-k} = t(8k+1) + r16n−k=t(8k+1)+r，其中ttt是整数，rrr是不超过(8k+1)(8k+1)(8k+1)的余数

则其对小数的贡献是r/(8k+1)r/(8k+1)r/(8k+1)

然后会发现算出来是负数

没关系，我只要不停的加一，直到它大于000为止就停下

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 1000010
#define maxe 1000010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define drep(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{ll c, f(1);for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;return f*x;
}
struct EasyMath
{ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];bool mark[maxn];ll fastpow(ll a, ll b, ll c){ll t(a%c), ans(1ll);for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;return ans;}void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){if(!b){x=1,y=0;return;}ll xx, yy;exgcd(b,a%b,xx,yy);x=yy, y=xx-a/b*yy;}ll inv(ll x, ll p)  //p是素数{return fastpow(x%p,p-2,p);}ll inv2(ll a, ll p){ll x, y;exgcd(a,p,x,y);return (x+p)%p;}void shai(ll N){ll i, j;for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;*prime=0;phi[1]=mu[1]=1;for(i=2;i<=N;i++){if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++){mark[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}mu[i*prime[j]]=-mu[i];phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}}ll CRT(vector<ll> a, vector<ll> m) //要求模数两两互质{ll M=1, ans=0, n=a.size(), i;for(i=0;i<n;i++)M*=m[i];for(i=0;i<n;i++)(ans+=a[i]*(M/m[i])%M*inv2(M/m[i],m[i]))%=M;return ans;}
}em;
ll T, n;
int main()
{double ans=0;ll i, k, kase;T=read();rep(kase,1,T){ll n=read();ans=0;rep(k,0,n-1){ans += double( 4*em.fastpow(16,n-1-k,8*k+1)%(8*k+1) ) / (8*k+1);ans -= double( 2*em.fastpow(16,n-1-k,8*k+4)%(8*k+4) ) / (8*k+4);ans -= double( 1*em.fastpow(16,n-1-k,8*k+5)%(8*k+5) ) / (8*k+5);ans -= double( 1*em.fastpow(16,n-1-k,8*k+6)%(8*k+6) ) / (8*k+6);ans -= ll(ans);}double inv = 1.0/16;rep(k,n,n+100000){ans += inv * ( 4.0/(8*k+1) - 2.0/(8*k+4) - 1.0/(8*k+5) - 1.0/(8*k+6) );inv /= 16;}ans -= ll(ans);while(ans<0)ans++;printf("Case #%lld: %lld %X\n",kase,n,int(ans*16)%16);}return 0;
}

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