matlab解决相遇追及问题,猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解.doc

猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解1试题这是一道有趣的高中物理运动学奥赛题：如图1 所示，有一只狐狸以不变速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处， FB⊥L ，设v2 > v1问猎犬追上狐狸还需多长时间？2高中一般解法把这个追击过程按时间等分成很多个小段，每小段的时间间隔为Δt，设某时刻，猎犬运动到了E点，狐狸运动到了H点，此时猎犬的速度方向应该沿EH的连线方向，设这个方向与DF方向的夹角为θi，那么猎犬在追上狐狸的过程中，猎犬和狐狸在AB方向上的位移关系为∑iv2sinθi?Δv1t(1)即v2∑isinθi?Δt=v1t(2)∑isinθi?Δt=v1v2t(3)在二者连线的方向上，由于猎犬速度始终朝向狐狸，所以相对运动的位移关系为∑i(v2-v1sinθi)?Δt=L(4)即v2t-v1∑isinθi?Δt=L(5)将(3)式带入(5)式可得t=v2Lv22-v21(6)这里用到了积分的思想，两个式子中都含有一个共同项∑isinθi?Δt，因而可以当作一个整体处理.3严格解法在这里，我们用微分方程方法，严格求解这一问题，并得到猎狗运动的轨迹方程.如图3所示建立坐标系，以猎狗的初始位置为坐标原点，以初始时刻猎狗与狐狸连线方向为x轴.狐狸的初始坐标为(L，0)，之后沿垂直于x轴向上的方向运动.设之后猎狗运动的轨迹方程为y=f(x)，图中如虚线所示.在t时刻二者分别运动到了E点和H点，则EH方向为此时刻猎狗的速度方向，设其与x轴的夹角为θ，E点到FH的垂足为G，有tanθ=dydx(7)同时，在△EGH中有 (L-x)tanθ=v1t-y(8)(7)式代入(8)式得(L-x)dydx=v1t-y(9)两边对x求导得-dydx+(L-x)d2ydx2=v1dtdx-dydx(10)v1dt=(L-x)d2ydx2dx(11)对于猎狗v2dt=ds=dx2+dy2=1+(dydx)2dx(12)(11)/(12)可得猎狗运动轨迹的微分方程v1v2=(L-x)d2ydx21+(dydx)2(13)下面对该方程求解，令α=v1v2，z=dydx，则(13)式可化为dz1+z2=αdxL-x(14)两边积分得ln(z+1+z2)=αlnLL-x+C1(15)由初始条件知，当x=0时，z=0，代入上式得C1=0，故上式可化为z=12[(L-xL)-α-(L-xl)α](16)再次积分可得y=12[1α-1(L-xL)-α+1-1α+1(L-xL)α+1]+C2(17)由初始条件知，当x=0时，y=0，代入上式可得C2=αL1-α2(18)即猎狗的运动轨迹方程为y=12[1α-1(L-xL)-α+1-1α+1(L-xL)α+1]+αL1-α2(19)猎狗追上狐狸的条件为x=L，代入(19)式，可得，此时y=αL1-α2=v1v2Lv22-v21(20)追赶时间即t=yv1=v2Lv22-v21(21)这和用高中的一般解法所得的结果一致.4扩展讨论(1)如果猎狗的速度大小和狐狸一样此时，v1=v2，α=1，(16)式将变为z=12(LL-x-L-xL)(22)积分可得猎狗的轨迹方程为y=14L(L-x)2-L2lnL-xL-L4(23)方程在x=L处发散，即猎狗永远追不上狐狸.(2)如果猎狗的速度大小小于狐狸此时，v1>v2，α>1，猎狗的运动轨迹方程还是(19)式，但在x=L处y值发散，显然这种情况下猎狗更追不上狐狸.5数值模拟比较为了验证严格解法所得解析式的正确性，我们用Matlab软件对这一问题进行了数值方法模拟，并和(19)式结果进行了比较.数值模拟过程中，我们取了一些具体的初始值：v1=2，v2=4，L=20，结果如图4所示，二者符合得很好，也验证了严格解法的正确性.4

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