§10 环的同态和理想

对环也有同态的概念：

定义1.10.1（环的同态）

设 L,L′L,L'L,L′ 是两个环，σ\sigmaσ 是 LLL 到 L′L'L′ 的一个映射。若对于 ∀a,b∈L\forall a,b \in L∀a,b∈L，σ\sigmaσ 具有性质：

σ(a+b)=σ(a)+σ(b)\sigma(a+b) = \sigma(a) + \sigma(b)σ(a+b)=σ(a)+σ(b)

σ(ab)=σ(a)σ(b)\sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)σ(ab)=σ(a)σ(b)

则 σ\sigmaσ 称为环 LLL 到 L′L'L′ 的一个同态映射，或简称同态。简记为： σ:L↦L′.\sigma: L \mapsto L'.σ:L↦L′.

显见，环的同态是 LLL 的加法群的同态。并且知： σ(L)\sigma(L)σ(L) 是 L′L'L′ 的一个子环。

定义1.10.2（零同态，满同态，同态象）

若 σ(L)={0}\sigma(L) = \{0\}σ(L)={0}，称其为零同态；
若 σ(L)=L′\sigma(L) = L'σ(L)=L′，称其为满同态， L′L'L′称为 LLL 的一个同态象。

定义1.10.3（核）

设 σ:L↦L′.\sigma: L \mapsto L'.σ:L↦L′. 定义其核为：
ker(σ)={a∈L∣σ(a)=0}.ker(\sigma) = \{a \in L | \sigma(a) = 0\}.ker(σ)={a∈L∣σ(a)=0}.

若 a,b∈ker(σ)a, b \in ker(\sigma)a,b∈ker(σ)，则：
σ(ab)=σ(a)σ(b)=0,\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b) = 0,σ(ab)=σ(a)σ(b)=0,
即 ab∈ker(σ)ab \in ker(\sigma)ab∈ker(σ).
也就是说：同态 σ\sigmaσ 的核是 LLL 的一个子环。

定义1.10.4（理想）

设 LLL 是一环，I∈LI \in LI∈L 是 LLL 的一个加法子群，若对于 ∀r∈L,a∈L\forall r\in L, a \in L∀r∈L,a∈L 有：
ra∈I,ar∈I,ra \in I, ar\in I,ra∈I,ar∈I,
则称 III 为 LLL 的一个理想（双边理想）。

若 LLL 的一个加法子群 III 只满足 ra∈Ira \in Ira∈I（或 ar∈Iar \in Iar∈I）对于 ∀r∈L,a∈I,\forall r\in L,a\in I,∀r∈L,a∈I,

则称 III 为 LLL 的一个左（右）理想。

显然， {0}\{0\}{0} 和 LLL 都是环 LLL 的理想，称其为平凡的理想。

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