【抽象代数】素理想、极大理想、唯一析因环、主理想整环、欧几里得环

素理想

设RRR是一个环，III是RRR的理想，若ab∈I⇒a∈Iab\in I \Rightarrow a \in Iab∈I⇒a∈I 或b∈Ib \in Ib∈I ，则称III是素理想。

例：

整数环（由元素p生成的主理想），

若p是素数，且ab∈ab \in \ ab∈ ，则p∣abp | abp∣ab ，p∣a或p∣b⇒a∈或b∈⇒p|a 或p|b \Rightarrow a \in \ \ 或 \ b \in \Rightarrow p∣a或p∣b⇒a∈ 或 b∈⇒ 是素理想。

性质

1）交换幺环中素理想的刻画

若R是交换幺环，I是R的理想，且I≠RI \neq RI=R，则III是RRR的素理想⇔\Leftrightarrow⇔ R/IR/IR/I是整环。
推论：交换幺环R是整环当且仅当{0}\{0\}{0}是素理想

极大理想

M是环R的理想，若M≠RM \neq RM=R，且不存在R的真理想N，使得M⊂N,M≠NM \subset N, M \neq NM⊂N,M=N，则称M是极大理想。

例：

整数环Z,，p，p，p是素数，是素理想的同时也是极大理想。

R是域，{0}\{0\}{0}是域R的极大理想，事实上，设N是R的理想，且N≠{0}N\neq \{0\}N={0}，则存在a∈N且a≠0⇒a−1a=1∈N⇒∀b∈R,b=b⋅1∈N⇒R=Na \in N 且 a \neq 0 \Rightarrow a^{-1}a =1 \in N \Rightarrow \forall b \in R, b=b \cdot 1 \in N \Rightarrow R = Na∈N且a=0⇒a−1a=1∈N⇒∀b∈R,b=b⋅1∈N⇒R=N

性质

1）设R是交换幺环，M为R的极大理想，当且仅当R/M是域。

2）推论：交换幺环R的极大理想一定是素理想。
I→R的极大理想⇔R/I是域⇔R/I是整环⇔I是素理想I \rightarrow R的极大理想 \Leftrightarrow R/I是域 \Leftrightarrow R/I是整环 \Leftrightarrow I是素理想 I→R的极大理想⇔R/I是域⇔R/I是整环⇔I是素理想
3）fff是交换幺环RRR到R′R'R′的满同态，MMM是RRR中包含kerfkerfkerf的素（极大）理想，则f(M)f(M)f(M)是R′R'R′中素（极大）理想

唯一析因环

设R为整环，用UUU表示幺半群R∗=R−{0}R^* = R-\{0\}R∗=R−{0} 中的可逆元的集合，则UUU是交换群，称为RRR的单位群，UUU中的元素称为单位。单位元一定是单位，1，-1都是单位。

例：

集合Z[−1]={a+b−1∣a,b∈Z}Z[\sqrt{-1}] = \{a+b\sqrt{-1} | a,b \in Z\}Z[−1]={a+b−1∣a,b∈Z}定义加法和乘法 ⇒\Rightarrow⇒ Z[−1]Z[\sqrt{-1}]Z[−1]是整环 ⇒\Rightarrow⇒ 1,−1,−1,−−11,-1,\sqrt{-1},-\sqrt{-1}1,−1,−1,−−1都是单位。

相伴

设a,b∈Ra,b \in Ra,b∈R，若存在RRR中的单位uuu，使得a=uba = uba=ub，则称aaa 与bbb相伴，记为a∼ba \sim ba∼b

性质

1）∀a∈R,a∣a,\forall a \in R, a|a,∀a∈R,a∣a,若a∣b,b∣c⇒a∣ca |b,b|c \Rightarrow a|ca∣b,b∣c⇒a∣c

2）uuu是单位，则u∣a,∀a∈Ru|a,\forall a \in Ru∣a,∀a∈R

3）若aaa 与bbb相伴，则存在单位使得b=aub=aub=au（对称性）

4）相伴关系时R中的等价关系且是R∗R^*R∗幺半群中的同余关系

a∼bc∼d⇒a=bu1c=du2⇒ac=bd(u1u2)⇒ac∼bda \sim b \ \ \ c \sim d \Rightarrow a=bu_1 \ \ \ c=du_2 \Rightarrow ac = bd(u_1u_2 )\Rightarrow ac \sim bda∼b c∼d⇒a=bu1 c=du2⇒ac=bd(u1u2)⇒ac∼bd

平凡因子

设a∈R∗a \in R^*a∈R∗，则单位和a的相伴元都是a的因子，称为a的平凡因子，若b|a ,但是a∤ba \nmid ba∤b，则称b是a的真因子

不可约元素

设a∈R∗−Ua \in R^* -Ua∈R∗−U，若a没有非平凡的真因子，则称a为不可约元素。

例：在整数环中，U={1,−1}U = \{1,-1\}U={1,−1}，若a∼b⇔a=±ba \sim b \Leftrightarrow a = \pm ba∼b⇔a=±b，则a的不可约元素 ⇔a\Leftrightarrow a⇔a为素数或者负素数。

设P是域，P[x]是P上的一元多项式环，U=P∗=P−{0},f(x)∼g(x)⇔f(x)=cg(x)U = P^* = P-\{0\} ,f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow f(x)= cg(x)U=P∗=P−{0},f(x)∼g(x)⇔f(x)=cg(x)，则f(x)f(x)f(x)为不可约元素⇔\Leftrightarrow⇔ f(x)f(x)f(x)是不可约多项式

素元素

设p∈R∗−Up \in R^* -Up∈R∗−U，且由p∣ab⇒p∣a或p∣bp |ab \Rightarrow p|a 或p|bp∣ab⇒p∣a或p∣b

素元素一定是不可约元素。

例：

集合R=Z[−5]={a+b−5∣a,b∈Z}R = Z[\sqrt{-5}] = \{a +b \sqrt{-5} |a,b \in Z\}R=Z[−5]={a+b−5∣a,b∈Z}定义普通的加法和乘法，3是不可约元素，但3不是素元素。

唯一析因环

如果整环RRR满足下列条件：

1）有限析因条件：∀a∈R∗−U\forall a \in R^* -U∀a∈R∗−U，a可分解为有限个不可约元素的乘积，则有不可约元素pi(1≤i≤r)p_i (1\le i \le r)pi(1≤i≤r)使得a=p1p2...pra = p_1p_2 ...p_ra=p1p2...pr

2）分解唯一定理：若a∈R∗−Ua \in R^* -Ua∈R∗−U 有两种不可约元素乘积的分解
a=p1p2...pr=q1q2...qsa=p_1p_2...p_r =q_1q_2...q_s a=p1p2...pr=q1q2...qs
则有r=s，而且适当交换顺序可以有pi∼qj,1≤i≤rp_i \sim q_j ,1\le i \le rpi∼qj,1≤i≤r，则称R是唯一析因环。

例：

整数环、数域上的一元多项式环都是唯一析因环。

Z[−−5]Z[-\sqrt{-5}]Z[−−5]不是唯一析因环，事实上9=3⋅3=(2+−5)(2−−5)9 = 3 \cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})9=3⋅3=(2+−5)(2−−5)

性质

1）唯一析因环R中的不可约元素是素元素。

2）整环RRR满足有限析因条件，且每个不可约元素是素元素，则RRR是唯一析因环。

公因子

设a1,a2,...,an∈Ra_1,a_2,...,a_n \in Ra1,a2,...,an∈R，若c∈Rc \in Rc∈R整除a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an，则称c是a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an的公因子，若分因子d能被任何一个因子整除，则称d是最大公因子

3）设RRR是唯一析因环，a,b∈Ra,b \in Ra,b∈R，则a,ba,ba,b的最大公因子存在，而且最大公因子相伴。

主理想整环

若交换幺环的每个理想都是主理想，则称此环为主理想环。若主理想环是整环，则称此环为主理想环。

例：

整数环Z是主理想整环。

性质

1）设R是主理想整环，若R中的一个序列a1,a2,a3,....a_1,a_2,a_3,....a1,a2,a3,....里面每一个元素都是前面一个元素的真因子，则此序列是有限序列。

2）设R是主理想整环，若P∈R∗−UP \in R^* -UP∈R∗−U是不可约元素，则是极大理想。

3）主理想整环是唯一析因环。

4）R是主理想整环，a,b∈Ra,b\in Ra,b∈R，ddd为a,ba,ba,b的最大公因子，则存在u,v∈Ru,v \in Ru,v∈R，使得d=ua+vbd = ua +vbd=ua+vb。

5）R是主理想整环，a,ba,ba,b互素⇔\Leftrightarrow⇔ ∃u,v∈R,st.ua+vb=1\exist u,v \in R,st. ua+vb =1∃u,v∈R,st.ua+vb=1

欧几里得环

设R是整环，若存在R∗R^*R∗到N∪{0}N \cup \{0\}N∪{0}上的映射δ\deltaδ，使得∀a,b∈R,b≠0\forall a,b \in R,b \neq0∀a,b∈R,b=0，存在q,r∈Rq,r \in Rq,r∈R，满足a=qb+ra =qb+ra=qb+r，其中r=0r=0r=0或δ(r)<δ(b)\delta(r) < \delta(b)δ(r)<δ(b)，则称RRR是欧几里得环。

例:

整数环是欧几里得环，δ:Z∗→N∪{0},δ(m)=∣m∣\delta:Z^* \rightarrow N \cup \{0\} , \delta(m) = |m|δ:Z∗→N∪{0},δ(m)=∣m∣

数域p上的一元多项式环P[x]P[x]P[x]，δ:P[x]∗→N∪{0},δ(f(x))=deg(f(x)),f(x)≠0\delta :P[x]^* \rightarrow N \cup\{0\},\delta(f(x))=deg(f(x)),f(x)\neq 0δ:P[x]∗→N∪{0},δ(f(x))=deg(f(x)),f(x)=0

Z[−1]:{a+b−1∣a,b∈Z}Z[\sqrt{-1}]:\{a+b \sqrt{-1}|a,b \in Z\}Z[−1]:{a+b−1∣a,b∈Z}是欧几里得环，δ(a+b−1)=a2+b2\delta (a+b\sqrt{-1})=a^2 +b^2δ(a+b−1)=a2+b2

性质

1）欧几里得环是主理想整环，进而是唯一析因环。

2）对于欧几里得环R，可以定义辗转相除法

设a,b∈R∗a,b \in R^*a,b∈R∗，不妨设δ(a)≥δ(b)\delta(a) \ge \delta(b)δ(a)≥δ(b)，令a1=a,a2=b,a1=qa2+a3a_1 =a ,a_2=b,a_1 = qa_2+a_3a1=a,a2=b,a1=qa2+a3，其中a3=0a_3=0a3=0或者δ(a3)<δ(a2)\delta(a_3) < \delta(a_2)δ(a3)<δ(a2)。
若a3=0a_3 =0a3=0 ，则a2a_2a2是a1,a2a_1,a_2a1,a2的最大公因子，若a3≠0a_3 \neq 0a3=0，a2=q1a3+a4a_2 = q_1a_3+a_4a2=q1a3+a4。
其中a4=0a_4=0a4=0或者δ(a4)<δ(a3)\delta(a_4) < \delta(a_3)δ(a4)<δ(a3)，重复上面的过程δ(a1)≥δ(a2)≥δ(a3)....\delta(a_1)\ge \delta(a_2)\ge \delta(a_3)....δ(a1)≥δ(a2)≥δ(a3)....在有限步终止，有an≠0，而an+1=0a_n \neq 0，而a_{n+1}=0an=0，而an+1=0
ana_nan是a,ba,ba,b的最大公因子

总结

欧几里得环⊊主理想环⊊唯一析因环⊊整环欧几里得环 \subsetneq 主理想环 \subsetneq 唯一析因环 \subsetneq 整环欧几里得环⊊主理想环⊊唯一析因环⊊整环

1）Z[−5]Z[\sqrt{-5}]Z[−5]是整环但不是唯一析因环。

2）Z[x]Z[x]Z[x]是唯一析因环但不是主理想整环。

3）R={a+b2(1+−19∣a,b)∈Z}R =\{a+\frac{b}{2} (1+\sqrt{-19} |a,b)\in Z\}R={a+2b(1+−19∣a,b)∈Z}是主理想环但不是欧几里得环。