工程/物理光学

【工程/物理光学（一）——光的电磁理论基础】
【工程/物理光学（二）——光的成像技术】
【工程/物理光学（四）——光的衍射技术】
【工程/物理光学（五）——激光技术】

光的干涉技术

工程/物理光学
一、光波干涉的产生条件
二、分波面双光束干涉
- 2.1 杨氏双缝干涉实验
- 2.2 其他分波面双光束干涉方法
- 2.3 干涉条纹清晰度的影响因素
三、分振幅双光束干涉
- 3.1 等倾干涉
- 3.2 等厚干涉

本文作为个人《物理光学》的学习记录，仅希望能够用较为简单的方法来阐述和理解物理光学，不涉及许多高深的物理公式推导，本文主要参考书为清华大学出版社1、范希智老师的《物理光学》和2、田芊等老师的《工程光学》

一、光波干涉的产生条件

光的干涉、衍射和偏振现象是光波动性的重要特征。光的干涉现象是指两个（或多个）光波传播过程中相遇叠加时，在叠加区域内有某些点的光振幅得到加强，另一些点的光振幅变弱，从而形成光的强度稳定的、明暗相间的空间分布。

以下是产生光波干涉的几点必要条件（相干条件）：

两束光波的光频率相同；
两束光波的光振动方向相同；
两束光波具有恒定的相位差或光程差；

通常将能够满足上面三个相干条件的光称为相干光，理想的相干光是无法获得的，光学中通常是将一个光源发出的一个光束分为多束光波，然后让它们重合产生干涉效应。其中，光源需要选择单色性好的光源，激光（原子受激辐射：在一定的能级间跃迁）是目前单色性最好的光源。为了获得稳定、清晰的干涉条纹，还需考虑以下产生光波干涉的补充条件：

两束光波在叠加区域内光程差要小于光波列长度；
两束光波在叠加区域内的光强（振幅）要尽量接近；
两束光波在叠加区域内的传播方向一致，尽可能以小夹角同向传播；

二、分波面双光束干涉

双光束干涉可分为以下两类：（1）分光时将一束光的波面分为两部分光波进行干涉，称为分波面双光束干涉；（2）分光时将一束光的振幅分为两部分光波进行干涉，称为分振幅双光束干涉；

2.1 杨氏双缝干涉实验

杨氏双缝干涉实验是分波面双光束干涉中的最经典的一个实验。其利用两个狭缝将一个光源的波面分割为两个波面形成双光束进行干涉，如下图所示，左图为平面示意图，右图为立体示意图。

光源通过S0S_0S0后可近似看作点光源，从S0S_0S0发出的光波射到并排的两个间距为ddd的狭缝S1S_1S1和S2S_2S2当中，保证距离S0S1S_0S_1S0S1等于S0S2S_0S_2S0S2，这样就可以得到两束频率相同、振动方向相同、初相位恒定的相干光。这两束相干光在后方的屏幕Π\PiΠ上叠加形成干涉条纹。现分析干涉条纹的光强分布情况：
光强I1=I2=I0的两束光，干涉叠加后光强为：I=4I0cos2（Δϕ2）（1）光强I_1=I_2=I_0的两束光，干涉叠加后光强为：I=4I_0cos^2（\frac{\Delta\phi}{2}）（1）光强I1=I2=I0的两束光，干涉叠加后光强为：I=4I0cos2（2Δϕ）（1）
若光强I1不等于I2，则叠加后的光强为：I=I1+I2+2I1I2cosΔϕ（2）若光强I_1不等于I_2，则叠加后的光强为：I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\phi（2）若光强I1不等于I2，则叠加后的光强为：I=I1+I2+2I1I2cosΔϕ（2）
其中Δϕ=ϕ1−ϕ2\Delta\phi=\phi_1-\phi_2Δϕ=ϕ1−ϕ2为两光波在该点处的相位差，该式子可以由简单波的叠加和光强定义（即光强与光波振幅的平方成正比）计算得到。对于屏幕Π\PiΠ上的任意一点P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z)，距离S1PS_1PS1P和S2PS_2PS2P分别为：
r1=(x−d/2)2+y2+D2r_1=\sqrt{(x-d/2)^2+y^2+D^2} r1=(x−d/2)2+y2+D2
r2=(x+d/2)2+y2+D2r_2=\sqrt{(x+d/2)^2+y^2+D^2} r2=(x+d/2)2+y2+D2
联立可得r22−r12=2xdr_2^2-r_1^2=2xdr22−r12=2xd，故两光束的光程差为：Δ=n(r1−r2)=2xdr1+r2\Delta=n(r_1-r_2)=\frac{2xd}{r_1+r_2}Δ=n(r1−r2)=r1+r22xd，且由于D>>x,D>>dD>>x,D>>dD>>x,D>>d，故进一步将光程差表达式化简为以下形式
Δ=2xd2D=xdD（3）\Delta=\frac{2xd}{2D}=\frac{xd}{D} （3） Δ=2D2xd=Dxd（3）
将波矢k=2π/λk=2\pi/\lambdak=2π/λ乘以光程差即可得到该点处的相位差 Δϕ=2πxd/λD\Delta\phi=2\pi xd/\lambda DΔϕ=2πxd/λD，代入叠加光强表达式式（1）当中即可得到：
I=4I0cos2（Δϕ2）=4I0cos2（πxdλD）I=4I_0cos^2（\frac{\Delta\phi}{2}）=4I_0cos^2（\frac{\pi xd}{\lambda D}） I=4I0cos2（2Δϕ）=4I0cos2（λDπxd）
从式子中可以得出以下结论，干涉条纹是一系列平行等间距的明暗相间直条纹，条纹光强分布呈余弦平方的变化规律，且直条纹平行于两条狭缝。干涉级次mmm定义为：m=Δ/λm=\Delta/\lambdam=Δ/λ，当相位差 Δϕ\Delta \phiΔϕ分别为2πm2\pi m2πm和(2π+1)m(2\pi+1)m(2π+1)m（对应的光程差就是相位差除以光矢kkk）时，出现干涉极大（亮纹）和干涉极小（暗纹）现象。因此，结合公式（3）可以计算得到相邻两亮条纹或暗条纹间的距离e=λDde=\frac{\lambda D}{d}e=dλD，即条纹间距和干涉级数无关，早期利用这个公式通过测量条纹间距来测定光的波长。此外，可以证明当点光源S0S_0S0沿xxx轴上下移动微笑距离δs\delta sδs时，其与干涉条纹移动的距离δx\delta xδx的关系是(负号表示方向相反)：
δx=−Dlδs（4）\delta x=-\frac{D}{l}\delta s （4） δx=−lDδs（4）

2.2 其他分波面双光束干涉方法

（1）菲涅耳双棱镜双光束干涉
下图中，SSS为狭缝光源，狭缝光源之后放置菲涅耳双棱镜，当狭缝光源出射的光波照射到菲涅耳双棱镜后，光波波前被双棱镜分为上下两部分（可视为由虚像 S1S_1S1和S2S_2S2次光源发出的光），在双棱镜后面放置光屏PPP就可以观察到干涉条纹。令距离S1S2=dS_1S_2=dS1S2=d可以将菲涅耳双棱镜干涉实验等效为杨氏双缝干涉实验，条纹间距、干涉极大极小的位置等计算方法均一致。

（2）菲涅耳双面镜双光束干涉
利用两块小夹角为θ\thetaθ的平面反射镜M1M_1M1和M2M_2M2，从点光源SSS发出的光经反射后形成两束光波（同样可视为由虚像 S1S_1S1和S2S_2S2次光源发出的光）相互叠加干涉。保证距离CS=CS1=CS2=rCS=CS_1=CS_2=rCS=CS1=CS2=r，则S1S2=d=2rsinθS_1S_2=d=2rsin\thetaS1S2=d=2rsinθ，之后就可以使用杨氏双缝干涉实验中得到的结论进行计算。

（3）洛埃镜双光束干涉
与前两种不同，洛埃镜双光束干涉仅仅使用了一个平面镜MNMNMN来分割光波面，点光源发出的光一部分直接射向屏幕，另一部分光经反射面大角度反射后再射向屏幕，所以这是由实光源SSS和次光源S′S^{'}S′所产生的干涉。此处同样也可以根据ddd的值利用前面公式进行计算，但需要注意的是，当光波由光梳到光密介质表面掠入射，反射光将会有π\piπ相位（即附加光程差λ/2\lambda/2λ/2）的跃变。当屏幕位于N点处时，理论上由于两束光的光程差为“0”应该显示的是亮纹，但由于附加的半个波长的光程差的存在，使得实际上此处的干涉条纹为暗纹，这一现象被称为“半波损失”。

2.3 干涉条纹清晰度的影响因素

对于两束相干光形成的干涉场，其清晰程度用条纹对比度K来表示：
K=Imax−IminImax+Imin（5）K=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} （5） K=Imax+IminImax−Imin（5）
其中ImaxI_{max}Imax和IminI_{min}Imin分别表示干涉合光强的最大、最小值（例如对于光强相等的两束光，令式1中的余弦值分别为1和0即可）。K在0~1范围内越大则条纹越清晰，越接近0则干涉条纹越模糊。对于光强分别为I1I_1I1和I2I_2I2的两束光，根据公式2可知干涉条纹的极大值和极小值分别为(I1+I2)2(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2(I1+I2)2和(I1−I2)2(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2(I1−I2)2，代入式5得到任意两相干光的条纹对比度K为：
K=2I1I2I1+I2K=\frac{2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}}{I_1+I_2} K=I1+I22I1I2
由此解释了开头光干涉产生条件中补充条件的第二点即两束光波的振幅（光强）应尽量接近，这样可以使得干涉场的条纹对比度K值变大，得到更加清晰的干涉条纹。
（1）接下来考虑实际非点光源对条纹对比度的影响情况
假设实际光源的宽度为b，如下图所示：

根据上文中公式4可以推出宽度b的光源S不同位置处对应的干涉条纹的偏移位置，当S′S^{'}S′处的点光源刚好比SSS处点光源多出λ/2\lambda/2λ/2的光程差时，由S′S^{'}S′产生的干涉亮条纹刚好与光源SSS产生的干涉暗条纹重合，且由于它们的条纹宽度一致，所以会导致整个干涉条纹消失。此时光源SSS的宽度bbb称为光源的临界宽度bc=λl/db_c=\lambda l/dbc=λl/d，一般情况下要求使用的光源宽度不超过临界宽度的1/4。

（2）考虑光源的空间相干性和时间相干性
光源的空间相干性问题即在光源S的宽度一定时，两狭缝间距ddd改变对干涉条纹对比度的影响情况。根据上面光源临界宽度的定义，我们可以推导出空间横向相干宽度dc=λl/bcd_c=\lambda l/b_cdc=λl/bc，可见光源的宽度越小，其横向相干宽度越大，即空间相干性越好。

光源宽度bbb及狭缝间距ddd	空间相干性	条纹对比度KKK
b=0,d=∞b=0,d=\inftyb=0,d=∞	完全相干	K=1K=1K=1
b=b0<bcb=b_0<b_cb=b0<bc时，d≤dcd \leq d_cd≤dc	部分相干	0<K<10<K<10<K<1
b=bcb=b_cb=bc时，d>dcd>d_cd>dc	不相干	K=0K=0K=0

光源的时间相干性是针对光的单色性而言的。由于实际的光都具有一定波长宽度Δλ\Delta \lambdaΔλ，不同波长的光形成的干涉条纹间有不同程度的重叠，假设干涉场中的Q点由波长λ+Δλ\lambda+\Delta \lambdaλ+Δλ得到的m+1级干涉条纹和波长λ\lambdaλ得到的m级干涉条纹重叠(条纹对比度K=0)，此时有最大光程差Δ′\Delta^{'}Δ′，称为相干长度LLL。此处的相干长度和本文开头提到的光波列长度是一样的概念。
L=(m+1)λ=m(λ+Δλ)L=(m+1)\lambda=m(\lambda+\Delta\lambda) L=(m+1)λ=m(λ+Δλ)
由此可得条纹的最大干涉级次m=λ/Δλm=\lambda/\Delta\lambdam=λ/Δλ，代入上式当中，最大光程差即相干长度L=λ2Δλ+λL=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}+\lambdaL=Δλλ2+λ，并将光经过相干长度的时间称为相干时间。可见波长宽度越小，其相干长度越长，时间相干性越好。

三、分振幅双光束干涉

将一束光波的光强利用反射和折射原理分为两部分光波进行干涉，称为分振幅双光束干涉。这种方法克服了分波面双光束干涉中增大条纹清晰度与条纹亮度之间的矛盾（如增大清晰度需减小光源宽度进而导致亮度降低），由此实际当中使用更多的是分振幅双光束干涉方法，它可以在保证干涉条纹清晰度的前提下使用扩展光源来增大条纹亮度。
分振幅双光束干涉一般是利用薄平板进行干涉，平板两面平行的平行平板产生的干涉现象称为等倾干涉，平板两面不平行的楔形平板产生的干涉现象称为等厚干涉。

3.1 等倾干涉

当一束光进入表面后一部分光经上表面反射得到，另一部分光由平板上表面折射、下表面反射得到，从而形成双光束等倾干涉。如下图所示：

由图可知，由点光源S（先将图中S‘扩展光源视为理想点光源研究单点干涉的现象）产生的反、折射光的光程差Δ\DeltaΔ为：
Δ=n(AB+BC)−n′AD\Delta = n(AB+BC)-n^{'}AD Δ=n(AB+BC)−n′AD
再根据反射定律和折射定律并结合几何关系可以推导出以下光程差的表达式，式中λ/2\lambda/2λ/2为在n>n′n>n^{'}n>n′情况下所引入的半波损失，h为平板厚度：
Δ=2nhcos(i2)+λ/2（6）\Delta =2nhcos(i_2)+\lambda/2 （6） Δ=2nhcos(i2)+λ/2（6）
使用上文中的公式2，可以得到等倾干涉的条纹强度d的表达式，当Δ=mλ\Delta=m\lambdaΔ=mλ时为亮纹，当Δ=(2m+1)λ/2\Delta=(2m+1)\lambda/2Δ=(2m+1)λ/2时为暗纹：
I=I1+I2+2I1I2cos(2πΔ/λ)I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(2\pi\Delta/\lambda) I=I1+I2+2I1I2cos(2πΔ/λ)
因此，可以看出等倾干涉中的光程差完全由入射角或折射角决定（平板厚度及折射率不变），即同一倾角入射的光所对应的光程差和干涉级次相同，将这种条纹称为等倾条纹。等倾干涉圆环条纹（可参见下图等倾干涉实验装置）的干涉级次m′m^{'}m′为：
m′=Δλ=2nhcosi2λ+1/2m^{'}=\frac{\Delta}{\lambda}=\frac{2nhcosi_2}{\lambda}+1/2 m′=λΔ=λ2nhcosi2+1/2
当i2=0i_2=0i2=0时，对应的是干涉中心条纹，此时的干涉级次不一定为整数，可见等倾干涉的中心条纹既不一定是亮纹，也不一定是暗纹。等倾干涉的圆环条纹越靠近中心处的入射角越小，光程差越大，则相应的干涉级次越高。

此外，还可以通过构建入射角iii和其变化率δi\delta iδi之间的关系，推出等倾干涉圆环条纹是不等间距的，越靠近中心的条纹越稀疏，从中心往外越来越密集。若改变平板（间隙）的厚度，可以发现当厚度h变厚λ/2\lambda/2λ/2时，干涉条纹将向外移动一个级次，利用这一规律可以用于测量两平板表面间的厚度变化。

3.2 等厚干涉

一束光经过楔形平板的上表面反射、下表面反射和折射，从而形成双光束干涉为等厚干涉，如下图所示。对于楔角较小且较薄的平板，可以近似使用平行平板的光程差公式即式6进行计算。由于楔形平板的观察视场较小，一般认为各点处的入射角一样，故光程差只取决于该点处的厚度，凡通过平板相同厚度处的光波，其形成的干涉级次相同，故称为等厚干涉。

根据上述分析，很容易得到等厚干涉形成的干涉条纹是平行于楔边的一系列等间距直条纹，且靠近楔边的干涉条纹光程差小，干涉级次低。当Δ=mλ\Delta=m\lambdaΔ=mλ时干涉条纹为亮纹，当Δ=(2m+1)λ/2\Delta=(2m+1)\lambda/2Δ=(2m+1)λ/2时为暗纹。下面计算等厚干涉的条纹间距。
由光程差公式，相邻两两亮条纹或暗条纹所对应的平板厚度h的变化为：δh=hm−hm+1=λ2n\delta h=h_m-h_{m+1}=\frac{\lambda}{2n}δh=hm−hm+1=2nλ(i2i_2i2近似接近于0)，楔板厚度每改变λ/2n\lambda /2nλ/2n时，条纹相应的会改变一个级次。得到条纹间距（干涉定域面位于楔形平板的正上方）为：
e=λ2nαe=\frac{\lambda}{2n\alpha} e=2nαλ
其中α\alphaα角为楔角大小，楔角越大则条纹间距越小，条纹越密集。大家常听说的牛顿环其中的原理就是等厚干涉，如下图所示，在由一平面镜和一曲率半径较大凸透镜组成的两表面中间形成空气薄层，光线垂直入射时会形成以中心接触点为中心的牛顿环等厚条纹。在空气厚度为0的接触点处，由于光程差为0且存在半波损失，故中心条纹为暗纹。

对于牛顿环半径为rrr处的第m级暗纹，由几何关系可得：h≈r22Rh\approx\frac{r^2}{2R}h≈2Rr2，且第m级暗纹的光程差（对于垂直入射在空气中的光）为：Δ=2h+λ/2=（2m+1）λ/2\Delta=2h+\lambda /2=（2m+1）\lambda/2Δ=2h+λ/2=（2m+1）λ/2，故h=mλ/2h=m\lambda/2h=mλ/2，联立上面的几何关系，得到透镜的曲率半径为：
R=r2mλR=\frac{r^2}{m\lambda} R=mλr2
借助显微镜获得第m级暗纹的半径r（在特定波长下）即可通过计算得到透镜的曲率半径。