圆方树（bzoj 2125: 最短路）

2125: 最短路

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Description

给一个N个点M条边的连通无向图，满足每条边最多属于一个环，有Q组询问，每次询问两点之间的最短路径。

Input

输入的第一行包含三个整数，分别表示N和M和Q 下接M行，每行三个整数v，u，w表示一条无向边v-u，长度为w 最后Q行，每行两个整数v，u表示一组询问

Output

输出Q行，每行一个整数表示询问的答案

Sample Input

9 10 2
1 2 1
1 4 1
3 4 1
2 3 1
3 7 1
7 8 2
7 9 2
1 5 3
1 6 4
5 6 1
1 9
5 7

Sample Output

5
6

什么是圆方树：

对于一棵仙人掌

仙人掌的所有点 → 圆方树中的所有圆点
仙人掌的所有不在环中的边 → 连接圆方树中两个圆点的边
仙人掌中的其中一个环 → 圆方树中的其中一个方点，这个方点向当前环中的所有圆点连边，边的长度 = 这个点到这个环中最接近根的那个点的距离

一张非常形象的图，来自于一个课件

其实看了这个图应该就什么都懂了，一些性质也很容易被发现

仙人掌两点的最短路：

先建立出圆方树，关于如何建立圆方树：双联通分量

之后将问题转化成圆方树的LCA，LCA可以用树链剖分解决

考虑求LCA的两种情况：

如果两点的LCA是圆点：可以证明仙人掌树上的最短路 = 圆方树上的最短路
如果两点的LCA是方点：说明这两点会在环上相遇，先求出这两点到环的距离，然后在环上分类讨论下就可以了

搞定

剩下的代码中有注释

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
typedef struct Road
{int v;int len;
}Road;
Road now;
vector<Road> G[20005], T[20005];
int n, t, cnt, Time[20005], low[20005], tp[20005], dep[20005], fa[20005], a[20005], dis[20005];
struct RST
{int fa[20005], size[20005], hson[20005], top[20005], dep[20005], dis[20005];int t, rak[20005], id[20005], cir[20005], zn[20005];void Sech1(int u, int p)       //对树先来一套基本操作，顺便求出每个节点的重儿子{int v, i;fa[u] = p, dep[u] = dep[p]+1;size[u] = 1;for(i=0;i<T[u].size();i++){v = T[u][i].v;if(v==p)continue;dis[v] = dis[u]+T[u][i].len;Sech1(v, u);size[u] += size[v];if(size[v]>size[hson[u]])hson[u] = v;}}void Sech2(int u, int p)            //重链剖分{int i, v;top[u] = p;rak[u] = ++t, id[t] = u;if(hson[u])Sech2(hson[u], p);for(i=0;i<T[u].size();i++){v = T[u][i].v;if(v==fa[u] || v==hson[u])continue;Sech2(v, v);}}int LCA(int u, int v){while(top[u]^top[v]){if(dep[top[u]]<dep[top[v]])v = fa[top[v]];elseu = fa[top[u]];}if(dep[u]<dep[v])return u;return v;}int Jump(int u, int lca)     //跳到lca的那个环上{int ret;while(top[u]!=top[lca])ret = top[u], u = fa[top[u]];if(u==lca)            //如果lca正好是一条链的尾端，那么上一个链的链头肯定就是当前要求的点return ret;return id[rak[lca]+1];       //如果lca不在链的尾端，那么当前要求的点一定是lca的重儿子！要不怎么会在一条链上}int Query(int u, int v){int lca, A, B, d1, d2;lca = LCA(u, v);if(lca<=n)     //如果LCA是圆点，说明他们不在环上相遇，直接返回它们与lca的距离即可return dis[u]+dis[v]-2*dis[lca];else        //在环上相遇{A = Jump(u, lca), B = Jump(v, lca);d1 = dis[A]-dis[lca], d2 = dis[B]-dis[lca];if(zn[A]==0)d1 = cir[lca]-d1;if(zn[B]==0)d2 = cir[lca]-d2;      //d1和d2分别表示A和B离当前环中最接近根的那个点的距离return dis[u]-dis[A]+dis[v]-dis[B]+min(abs(d1-d2),cir[lca]-abs(d1-d2));}}
}RST;
void CreateS(int u, int v, int len)
{int R, sum, i, D;D = R = 0, sum = len, cnt++;     //cnt为当前新建的方点for(i=v;1;i=fa[i]){a[++R] = i;if(i==u)break;sum += dis[i]-dis[fa[i]];}for(i=1;i<=R/2;i++)swap(a[i], a[R-i+1]);RST.cir[cnt] = sum;for(i=1;i<=R;i++){now.len = min(D, sum-D);now.v = a[i], T[cnt].push_back(now);now.v = cnt, T[a[i]].push_back(now);RST.zn[a[i]] = (now.len==D);D += dis[a[i+1]]-dis[a[i]];}
}
void Tarjan(int u, int p)
{int i, v;Time[u] = low[u] = ++t;fa[u] = p, dep[u] = dep[p]+1;for(i=0;i<G[u].size();i++){v = G[u][i].v;if(v==p)continue;if(Time[v]==0){dis[v] = dis[u]+G[u][i].len;Tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);}elselow[u] = min(low[u], Time[v]);if(low[v]>Time[u]){T[u].push_back(G[u][i]);now.v = u, now.len = G[u][i].len;T[v].push_back(now);}}for(i=0;i<G[u].size();i++){v = G[u][i].v;if(fa[v]!=u && Time[v]>Time[u])CreateS(u, v, G[u][i].len);}
}
int main(void)
{int i, m, T, x, y;scanf("%d%d%d", &n, &m, &T), cnt = n;for(i=1;i<=m;++i){scanf("%d%d%d", &x, &y, &now.len);now.v = y, G[x].push_back(now);now.v = x, G[y].push_back(now);}Tarjan(1, 0);RST.Sech1(1, 0);RST.Sech2(1, 1);while(T--){scanf("%d%d", &x, &y);printf("%d\n", RST.Query(x, y));}return 0;
}
/*
15 18 0
10 15 15 9 9 14 14 2
10 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 2
3 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1
*/

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