洛谷：P5236 【模板】静态仙人掌（圆方树模板 + 仙人掌最短路）

题意很简单，在仙人掌图上求两点的最短路。

做法：需要用到圆方树

先来看看什么是圆方树：圆方树，就是由仙人掌图转化而来，树上分两种点：圆点和方点，圆点是仙人掌图上的点，方点是由仙人掌的环转化而来。

由于仙人掌上的环不相交，圆方树的处理方法是对每一个环（每一个环都是点双连通分量）构建一个点，将这个环上的点接到这个方点上。这里盗一张名画：

虚线即原图边，红色的点即为方点。

一个显然的结论是任意一个方点唯一代表一个环，且整个图转成了一棵树。

（自然，转化为树后就可以使用一些处理树的问题的强大算法：如点分治，树链剖分等，但需要对方点特殊处理）

既然有边，边权如何赋值？：首先仙人掌图的遍历仍然依赖于 d f s dfs dfs算法，定义仙人掌图的 d f s dfs dfs树的父节点：从一棵仙人掌的根节点出发，对于不在环上的结点，它的父节点和树一般。对于每一个环，以最先遍历到的点为这个环的父节点。

环上的点连到方点的边权，就定义为该点到这个环的父节点的最短距离，显然方点到父节点的边权为0。（当然只是这题这样构造，也许在不同的题有不同的需求）

一个环有两个方向，需要走较短的那个方向，这就设计到对环的特殊处理。
来看建树的代码：

void solve(int rt,int u,int w) {top = 0;a[++top] = u;dep[top] = w;for(int i = u; i != rt; i = fa[i].fir)a[++top] = fa[i].fir,dep[top] = fa[i].sec;sz++;for(int i = 1; i <= top; i++)dep[i] += dep[i - 1];sum[sz] = dep[top];for(int i = 1; i <= top; i++) {ll z = min(dep[i],sum[sz] - dep[i]);add(a[i],sz + n,z);}
}
void tarjan(int u,int s) {dfn[u] = low[u] = ++cnt;for(auto it : g[u]) {if(it.fir == s) continue;if(!dfn[it.fir]) {fa[it.fir] = pii(u,it.sec);dis[it.fir] = dis[u] + it.sec;tarjan(it.fir,u);low[u] = min(low[u],low[it.fir]);if(low[it.fir] > dfn[u]) add(u,it.fir,it.sec);} else {low[u] = min(low[u],dfn[it.fir]);}}for(auto it : g[u]) {if(it.fir == s) continue;if(dfn[it.fir] > dfn[u] && fa[it.fir].fir != u) solve(u,it.fir,it.sec);}
}

由于要找到所有的环，每一个环都是一个点双，可以用tarjan算法。
（仙人掌图等价于多个环的基环树，环的处理方式可以一样，tarjan算法也可以应用于基环树中，不过由于基环树只有一个环，可以使用更简单的方法）

和仙人掌图 d p dp dp 的方式一样，先加非环上的边，环最后来处理。

找环的代码，原理很简单，一个环在 d f s dfs dfs树上一定有一条返祖边，if里的条件相当于在找那条返祖边。

画个图理解，对于每个环，只要找那条红色的返祖边，就可以唯一确定一个环。在仙人掌图上，返祖边一定是一个环的父节点，指向一个环的最低的结点（这里的最低只最后访问），这样处理很方便。

找到环后，就需要对环进行特殊处理，这里只是为了建图，如果是仙人掌dp，处理方式和基环树相同，需要对环形dp 进行处理（如最大独立集，仙人掌直径等）

s o l v e solve solve函数就是对环处理的函数：
将环展开，依次向方点加边即可，由于这道题求的是最短路，需要用数组记录一个环的边权和。

构建好树后，变成求树上最短路，由于树上路径唯一，只需要倍增找lca 即可。

一个问题是倍增找到的lca ，可能是圆点也可能是方点。

如果lca是圆点：没有问题，直接计算答案即可。

如果lca是方点：方点并不是原图的点，圆方树每一个方点都代表一个圆，这代表询问点对的祖先在一个环上，需要计算这两个祖先节点的距离，根据倍增的算法原理，最后一次跳到的点就是这两个结点。由于环有两个方向，取较小的方向即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
typedef long long ll;
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define fir first
#define sec second
const int mx = 20;
int dfn[maxn],low[maxn],cnt,sz;
vector<pii> g[maxn];
vector<pll> h[maxn];
pii fa[maxn];
int n,q,m;
ll d[maxn],dis[maxn],sum[maxn];
ll dep[maxn],a[maxn],top = 0;
ll p[maxn][mx + 1],gw[maxn][mx + 1];
void add(int u,int v,ll w) {h[u].push_back(pll(v,w));h[v].push_back(pll(u,w));
}
void solve(int rt,int u,int w) {top = 0;a[++top] = u;dep[top] = w;for(int i = u; i != rt; i = fa[i].fir)a[++top] = fa[i].fir,dep[top] = fa[i].sec;sz++;for(int i = 1; i <= top; i++)dep[i] += dep[i - 1];sum[sz] = dep[top];for(int i = 1; i <= top; i++) {ll z = min(dep[i],sum[sz] - dep[i]);add(a[i],sz + n,z);}
}
void tarjan(int u,int s) {dfn[u] = low[u] = ++cnt;for(auto it : g[u]) {if(it.fir == s) continue;if(!dfn[it.fir]) {fa[it.fir] = pii(u,it.sec);dis[it.fir] = dis[u] + it.sec;tarjan(it.fir,u);low[u] = min(low[u],low[it.fir]);if(low[it.fir] > dfn[u]) add(u,it.fir,it.sec);} else {low[u] = min(low[u],dfn[it.fir]);}}for(auto it : g[u]) {if(it.fir == s) continue;if(dfn[it.fir] > dfn[u] && fa[it.fir].fir != u) solve(u,it.fir,it.sec);}
}
void prework(int u,int s,int w) {for(int i = 1; i <= mx; i++) {p[u][i] = p[p[u][i - 1]][i - 1];gw[u][i] = gw[u][i - 1] + gw[p[u][i - 1]][i - 1];}for(auto it : h[u]) {if(it.fir == s) continue;d[it.fir] = d[u] + 1;p[it.fir][0] = u;gw[it.fir][0] = it.sec;prework(it.fir,u,it.sec);}
}
ll qry(int x,int y) {ll ans = 0;if(d[x] < d[y]) swap(x,y);for(int i = mx; i >= 0; i--) {if(d[p[x][i]] >= d[y]) {ans += gw[x][i];x = p[x][i];}}for(int i = mx; i >= 0; i--) {if(p[x][i] != p[y][i]) {ans += gw[x][i];ans += gw[y][i];x = p[x][i],y = p[y][i];}}if(x == y) return ans;else if(p[x][0] > n) {int rt = p[x][0];ll d = abs(dis[x] - dis[y]);ans += min(d,sum[rt - n] - d);return ans;} else return ans + gw[x][0] + gw[y][0];
}
int main() {scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);for(int i = 1; i <= m; i++) {int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);g[u].push_back(pii(v,w));g[v].push_back(pii(u,w));} tarjan(1,0);d[1] = 1;prework(1,0,0);for(int i = 1; i <= q; i++) {int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);printf("%lld\n",qry(u,v));}return 0;
}

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