【数据结构笔记19】File Transfer的C语言实现，集合的简化表示，按秩归并，路径压缩

本次笔记内容：
File Transfer - C语言实现（4小节共42:43）

文章目录

集合的简化表示
题意理解与实现
- 题目与样例
- 程序框架
- 简单实现Find与Uion函数
- 按秩归并改进Union()
- - 按高度归并
  - 按规模归并
- 路径压缩改进Find()
- 路径压缩时间复杂度数学属性

集合的简化表示

如上图，在元素可被映射到坐标的情况下，可以去掉结构体中的数据域。使用下标代表元素，S代表其父结点指向的存储方法，实现如下：

typedef int ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef int SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MaxSize];SetName Find(SetType S, ElementType X)
{ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */for (; S[X] >= 0; X = S[X]);return X;
}void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */S[Root2] = Root1;
}

题意理解与实现

题目与样例

如上图，5代表5台计算机，C代表Check，此时没有计算机连通，因此C 3 2后输出no（3与2之间没有连通）；I代表Input，I 3 2代表连通3和2，以此类推。

程序框架

int main(){初始化集合;do {读入一条指令;处理指令;} while(没结束);return 0;
}

具体实现如下。

int main()
{SetType S;int n;char in;scanf("%d\n", &n);Initialization(S, n);do{scanf("%c", &in); // 取第一个字符switch (in){case 'I':Input_connection(S);break; // Union(Find)case 'C':Check_connection(S);break; // Findcase 'S':Check_network(S, n);break; // 数集合的根}} while (in != 'S');return 0;
}

每个函数的具体实现如下。

void Input_connection(SetType S)
{ElementType u, v;SetName u, v;SetName Root1, Root2;scanf("%d %d\n", &u, &v);Root1 = Find(S, u - 1);Root2 = Find(S, v - 1);if (Root1 != Root2)Union(S, Root1, Root2);
}

void Check_connection(SetType S)
{ElementType u, v;SetName Root1, Root2;scanf("%d %d\n", &u, &v);Root1 = Find(S, u - 1);Root2 = Find(S, v - 1);if (Root1 == Root2)printf("yes\n");elseprintf("no\n");
}

void Check_network(SetType S, int n)
{int i, counter = 0;for (i = 0; i < n; i++){if (S[i] < 0)counter++;}if (counter == 1)printf("The network is connected.\n");elseprintf("There are &d components.\n", counter);
}

简单实现Find与Uion函数

如上图，无论是S[Root2]=Root1;还是S[Root1]=Root2;，都存在运行超时的现象。

因此这个方法还是TSSN（Too Simple, Sometimes Naive）。

按秩归并改进Union()

如上图，使用TSSN算法，树越长越高，Find()每次都要搜索一次树，时间复杂度是n^2。

按高度归并

如上图，如果不想让树越来越高，则应该把矮树贴到高树上，因此将树的高度存在S[Root]=-树高。

void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{if (S[Root2] < S[Root1])S[Root1] = Root2;else{if (S[Root1] == S[Root2])S[Root1]--;S[Root2] = Root1;}
}

按规模归并

如上图，将大树贴到小树上。

void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{if (S[Root2] < S[Root1]){S[Root2] += S[Root1];S[Root1] = Root2;}else{S[Root1] += S[Root2];S[Root2] = Root1;}
}

以上两种方法统称为“按秩归并”。

如果一直是按秩归并，最坏情况下树高为O(logN)O(logN)O(logN)。

路径压缩改进Find()

如上图，使用路径压缩算法。在第一次对S[]使用路径压缩时，耗时较长，因为其把所有经过的结点都贴在了根结点上。之后再次对S[]使用Find()时，耗时可能较短，因为已经有一部分结点被贴在了根结点上。

SetName Find(SetType S, ElementType X)
{if (S[X] < 0) /* 找到集合的根 */return X;elsereturn S[X] = Find(S, S[X]);// 先找到根；把根变成X的父结点；再返回根
}

上述的递归是尾递归，很容易即转换为循环实现。编译器编译时，自动将尾递归转变为循环进行编译，对空间占有率不会过高。

路径压缩时间复杂度数学属性

如上图，N足够大（10^6）时，路径压缩的优势得以显现。

但是，在这种情况下，如果使用c++实现非路径压缩算法，java实现路径压缩算法，c++依然比java快。因为java读入写出数据慢。