数据结构与算法 第三章 树以及相关遍历方法
2024-05-10 06:20:20
一、树
1. 树的定义和术语
(1) 树的定义和术语
- 树是一种分层次组织结构，这种结构在管理上具有更高的效率
- 数据管理的基本操作之一：查找
- 空树：包含零个结点
- 根（root）：用
r表示。是每棵树（包括子树）的最上面的结点 - 子树（SubTree）：根以外的结点可以分为若干互不相交的有限集，每个集合本身又是一棵树，称为原来树的子树（SubTree）
- 结点的度（Degree）：结点的子树个数
- 树的度：树的所有结点中最大的度
- 叶节点（Leaf）：度为0的结点。如
F、L等 - 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点。如
B是G的父结点 - 子结点（Child）：也成为孩子结点。如
G是B的子节点 - 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。如
B、C、D互为兄弟结点 - 路径：从结点 n1n_1n1 到 nkn_knk 的路径可以看做一个结点序列 n1,n2,...,nkn_1,n_2,...,n_kn1,n2,...,nk ，该序列中相邻的结点时父子结点的关系
- 路径的长度：路径所包含的边的个数
- 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点
- 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中所有结点时这个结点的子孙
- 结点的层次（Level）：规定根结点在 1 层，其他任何结点的层数是其父结点的层数加 1。即结点所在的层数
- 树的深度（Length）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度
(2) 树的规则
- 在由查找方法导出的判定树中，树上的每个结点需要查找的次数刚好为该结点所在的层数
- 查找成功时，查找次数不会超过树的深度
- nnn 个结点的判定树的深度是 [log2n]+1[log_2n]+1[log2n]+1
- 平均查找次数（ASL）：
若树的第 nin_ini 层有 mjm_jmj 个结点，且一共有 ppp 个元素，则平均查找次数如下
ASL=∑ijnimjpASL = \frac{\sum_{ij}n_im_j}{p}ASL=p∑ijnimj
(3) 查找
- 查找，指根据某个给定的关键字 KKK，从集合 RRR 中找出内容中与 KKK 相符的记录
- 查找的分类
- 静态查找：集合中的记录是固定的
不进行插入和删除操作，只是查找 - 动态查找：集合中的记录是变化的
有查找、插入和删除操作
- 静态查找：集合中的记录是固定的
- 子树互不相交
- 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。根结点没有父结点
- 一棵 NNN 个结点的树有 N−1N-1N−1 条边
(4) 静态查找
问题情境：在数组中查找某元素
方法1：顺序查找
顺序查找算法的时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)
struct LNode {ElementType Element[MAXSIZE]; // 存放数组元素int length; // 数组中元素的个数
};
typedef struct LNode *List;
/* 功能：在Element[1]~Element[n]中查找关键字为K的数据元素* 输入：List Tbl 数组的首地址。下标为0的元素是哨兵，剩下的元素是数据元素* ElementType K 要查找的关键字* 输出：int i 查找的数据元素的下标。没有找到时返回 0*/
int SequentialSearch(List Tbl, ElementType K) {int i;Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵。使下面的for语句的判断中不需要对i>0进行判断// 从length开始，到1结束，查找数组里的元素for (i = Tbl->length; Tbl->Element[i] != K; i--) {};return i;
}
方法2：二分查找（Binary Search）
前提：nnn 个数据元素的关键字是有序的，且存放在连续存储结构中（如数组）
/* 功能：二分查找算法。在表Tbl中查找关键字为K的数据元素* 输入：List Tbl 数组首地址* ElementType K 要查找的关键字* 输出：int mid 查找到的元素下标。-1表示没有找到* 注意：数组中的元素按照从左到右，从小到大的顺序排列的*/
int BinarySearch(List Tbl, ElementType K) {int left, right, mid, NoFound = -1;left = 1; // 初始左边界right = Tbl->Length; // 初始右边界while (Tbl->length) {mid = left + (right - left) / 2; /* 计算中间元素下标，同时防止left和right太大导致mid溢出 */if (K < Tbl->Element[mid]) {right = mid - 1; // 调整右边界} else if (K > Tbl->Element[mid]) {left = mid + 1; // 调整左边界} else {return mid; // 查找成功，返回数据元素下标}}return NoFound;
}
2. 二叉树
树最好使用链表存储，且链表需要使用儿子-兄弟表示法构造结点
(1) 二叉树的定义
- 二叉树
T：一个有穷的结点集合- 这个集合可以为空
- 若不为空，则它是由根结点和称为器左子树 TLT_LTL 和右子树 TRT_RTR 的两个互不相交的二叉树组成
- 二叉树的子树有左右顺序之分
- 二叉树
T的五种基本形态：- 空树
- 只有一个结点
- 一个结点和对应的左子树，右子树为空
- 一个结点和对应的右子树，左子树为空
- 一个结点和对应的左右子树
(2) 特殊二叉树
- 斜二叉树（Skewed Binary Tree）
- 完美二叉树（Perfect Binary Tree）或满二叉树（Full Binary Tree）
- 完全二叉树（Complete Binary Tree）
- 按从上到下、从左到右的顺序存储 nnn 个结点的完全二叉树的结点父子关系
- 相当于满二叉树的叶结点那一层不完全，但缺少的那一层有特殊要求
上图的满二叉树中，若11到15删掉，则成为完全二叉树；若9和后面的其他任意若干叶结点删掉，则不是完全二叉树
(3) 二叉树的重要性质
- 一个二叉树第 i 层的最大结点数为：2i−1，i≥12^{i-1}，i≥12i−1，i≥1
- 深度为 k 的二叉树有最大结点总数：2k−1，k≥12^k-1，k≥12k−1，k≥1
- 对任何非空二叉树
T，叶结点个数 = 度为 2 的非叶结点个数 + 1 - 非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号为 [i/2][i/2][i/2]
- 结点（序号为 i）的左孩子结点的序号是 2i2i2i（若 2i≥2i≥2i≥总结点数，则没有左孩子）
- 结点（序号为 i）的右孩子结点的序号是 2i+12i +12i+1（若 2i+1≥2i+1≥2i+1≥总结点数，则没有右孩子）
2. 二叉树的抽象数据类型
类型名称：二叉树
数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空结点，则由根结点和其左、右二叉子树组成
操作集：BT ∈ BinTree，Item ∈ ElementType，重要操作如下：Boolean IsEmpty(BinTree BT); // 判断BT是否为空树 void Traversal(BinTree BT); // 遍历树中的结点，按某顺序访问每个结点 BinTree CreatBinTree(); // 创建一个二叉树
- 二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化
- 从结点访问其左、右儿子结点
- 访问左儿子后，右儿子结点需要得到合适的处理
- 需要一个存储结构保存暂时不访问的结点
- 可用的存储结构：堆栈、队列
- 常用的遍历方法：
void PreOrderTraversal(BinTree BT); // 先序遍历：根、左子树、右子树
void InOrderTraversal(BinTree BT); // 中序遍历：左子树、根、右子树
void PostOrderTraversal(BinTree BT); // 后序遍历：左子树、右子树、根
void LevelOrderTraversal(BinTree BT); // 层次遍历（或 层序遍历）：从上到下，从左到右
3. 二叉树的存储结构
(1) 顺序存储结构
- 可以用数组存储二叉树
- 一般二叉树可以补全为完全二叉树，但造成了许多空间的浪费
(2) 链表存储
struct TreeNode {ElementType Data;BinTree Left;BinTree Right;
};
typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
4. 链式存储结构二叉树的递归遍历
(1) 先序遍历
- 遍历过程为：
- 访问根结点
- 先序遍历其左子树
- 先序遍历其右子树
/* 功能：先序遍历二叉树* 输入：BinTree BT 要遍历的树的首地址* 输出：void*/
void PreOrderTraversal(BinTree BT) {if (BT) { // 若不是空树printf("%d", BT->Data); // 遍历根结点PreOrderTraversal(BT->Left); // 遍历左结点PreOrderTraversal(BT->Right); // 遍历右节点}
}
上图中黑底白字的数字表示遍历的先后顺序
(2) 中序遍历
- 遍历过程：
- 中序遍历其左子树
- 访问根结点
- 中序遍历其右子树
/* 功能：中序遍历二叉树* 输入：BinTree BT 要遍历的树的首地址* 输出：void*/
void InOrderTraversal(BinTree BT) {if (BT) {InOrderTraversal(Bt->Left);printf("%d", BT->Data);InOrderTraversal(Bt->Right);}
}
(3) 后序遍历
- 遍历过程：
- 后序遍历其左子树
- 后序遍历其右子树
- 访问根结点
/* 功能：后序遍历二叉树* 输入：BinTree BT 要遍历的树的首地址* 输出：void*/
void PostOrderTraversal(BinTree BT) {if (BT) {PostOrderTraversal(Bt->Left);PostOrderTraversal(Bt->Right);printf("%d", BT->Data);}
}
先序、中序和后序遍历过程中经过结点的路线一致，只是访问各结点（即各子树的根结点和叶结点）的时机不同
下图为结果结点的路线。可知，每一棵子树的根结点都经过了三次。
- 第一次经过根结点，就访问其中的数据，是先序遍历
- 第二次经过根结点，就访问其中的数据，是中序遍历
- 第三次经过根结点，就访问其中的数据，是后序遍历
5. 链式存储结构二叉树的非递归遍历
- 下面以中序遍历非递归遍历为例，关键是使用堆栈实现遍历
- 先序遍历、后序遍历同理
- 算法逻辑：
- 遇到一个结点，就把它压栈，并遍历其左子树
- 当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点，并访问它
- 然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树
/* 功能：链式存储结构二叉树的中序非递归遍历* 输入：要遍历的二叉树* 输出：void*/
void InOrderTraversal(BinTree BT) {BinTree T = BT; // T是临时变量Stack S = CreatStack(MaxSize); // 创建并初始化堆栈while (T || !IsEmpty(S)) { // 若树不空或堆栈不空/* 一直向左并将沿途结点压入堆栈 */while (T) { // 若堆栈不空Push(S, T); // 经过的结点入栈T = T->Left; // 当T=NULL时退出本循环}/* 已经定位到左子树的第一个要输出的结点，之后按照中序遍历的顺序输出 */if (!IsEmpty(S)) { // 若堆栈不空T = Pop(S); // 栈顶结点出栈。栈顶结点是二叉树中最左边的结点（简记为A）printf("%5d", T->Data); // 访问结点AT = T->Right; // 转向右子树。当T=NULL，但堆栈不为空时，最外层的大循环继续执行}}
}
6. 层序遍历
- 使用队列实现：遍历从根结点开始，先将根结点入队，然后开始执行循环：结点出队、访问该结点、其左右儿子结点入队
- 算法逻辑：先将根结点入队，然后执行下列操作
- 从队列中取出一个元素
- 访问该元素所指结点
- 若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将其左、右孩子的指针顺序入队
/* 功能：队列实现层序遍历* 输入：BinTree BT 要遍历的目标树的首地址* 输出：void*/
void LevelOrderTraversal(BinTree BT) {Queue Q;BinTree T;if (!BT) { // 若目标对象是空树return; // 则直接退出函数}Q = CreatQueue(MaxSize); // 创建并初始化队列QAddQ(Q, BT); // 将根结点添加到队列中去while (!IsEmptyQ(Q)) {T = DeleteQ(Q); // 队头结点出队printf("%d\n", T->Data); // 访问出队的结点if (T->Left) {AddQ(Q, T->Left); // 将左儿子结点添加到队列中}if (T->Right) {AddQ(Q, T->Right); // 将右儿子结点添加到队列中}}
}
7. 遍历二叉树的应用
(1) 输出二叉树中的叶子结点
/* 功能：输出二叉树中的叶子结点* 输入：BinTree BT 叶子结点所在的树* 输出：void */
void PreOrderPrintLeaves(BinTree BT) {if (BT) {if (!BT->Left && !BT->Right) {printf("%d", BT->Data); // 某结点的左右结点为空，表明该结点是叶子结点}PreOrderPrintLeaves(BT->Left);PreOrderPrintLeaves(BT->Right);}
}
(2) 求二叉树的高度
/* 功能：求二叉树的高度（深度）* 输入：BinTree BT 求深度的树* 输出：int 树的深度*/
int PostOrderGetHeight(BinTree BT) {int HL, HR, MaxH;if (BT) {HL = PostOrderGetHeight(BT->Left); // 求左子树的深度HL = PostOrderGetHeight(BT->right); // 求右子树的深度MaxH = (HL > HR) ? HL : HR; // 取左右子树深度的最大值return (Max + 1); // 返回整棵树的深度} else {return 0; // 定义空树的深度为0}
}
(3) 运算表达式树及其遍历
- 叶子结点表示运算数或者是字母
- 根结点表示运算符
- 上图中，不同的遍历得到不同的表达式：
- 先序遍历得到前缀表达式：++a∗bc∗+∗defg++a*bc*+*defg++a∗bc∗+∗defg
- 中序遍历得到中缀表达式：a+b∗c+d∗e+f∗ga+b*c+d*e+f*ga+b∗c+d∗e+f∗g
- 由于中缀表达式需要考虑运算符的优先级，所以在遍历左右子树时，在遍历子树前加左括号，在遍历子树后加右括号
- 后序遍历得到后缀表达式：abc∗+de∗f+g∗+abc*+de*f+g*+abc∗+de∗f+g∗+
(4) 由先序、中序、后序遍历确定二叉树结构
- 方法是，从这三种遍历方式中，取中序遍历和其余两种中任何一种遍历方式，即可确定二叉树的结构
- 只根据先序和后序遍历无法准确确定二叉树的结构
情景1：先序和中序遍历序列确定一棵二叉树
- 方法
- 根据先序遍历序列第一个结点确定根结点；
- 根据根结点在中序遍历序列中分割出左右两个子序列；
- 对左子树和右子树分别递归，使用相同的方法继续分解
情景2：后序和中序遍历序列确定一棵二叉树
(5) 树的同构问题：判断某两棵树是否为同构的
- 同构：给定两棵树
T1和T2。若T1可以通过若干次左右孩子互换就变成了T2，则我们称两棵树是“同构”的
题目：输入两棵二叉树的信息，比较他们是否是同构
输入要求：
- 先在一行中给出该树的结点数
- 第
i（从零开始计数）行对应编号第i个结点，给出该结点中存储的字母、其左孩子结点的编号、右孩子结点的编号- 若孩子结点为空，则在相应位置上给出
-- 输入样例如下：
关键：
- 二叉树的表示
- 建立二叉树
- 同构的判别
0x00 二叉树的表示
- 用链表结构表示
- 用数组结构表示
一般数组：将给定的二叉树看成完全二叉树存储
结构数组（物理存储结构是数组，组成思想是静态链表）
- 存储结构如下
- 第一行是该结点的信息，第二行是左结点，第三行是右结点，第二三行存储结点的编号。
-1表示为空
由上图可知，一共有四个结点，分别用0、1、2、3表示，而表格中左右结点编号中只出现1、2、3，所以编号为0的结点就是根结点，即A是根结点
- 第一行是该结点的信息，第二行是左结点，第三行是右结点，第二三行存储结点的编号。
- 存储结构如下
#define MaxTree 10
#define ElementType char
#define Tree int
#define Null -1
struct TreeNode {ElementType Element;Tree Left; // 左结点编号Tree Right; // 右结点编号
} T1[MaxTree], T2[MaxTree];
0x01 程序框架搭建
int main(void) {Tree R1, R2;R1 = BuildTree(T1); // 建立二叉树T1R2 = BuildTree(T2); // 建立二叉树T2if (Isomorphic(R1, R2)) { // 判断是否同构printf("Yes\n");} else {printf("No\n");}return 0;
}
/* 功能：建立二叉树* 输入：struct TreeNode T[] 二叉树首地址* 输出：Tree Root 根结点的编号*/
Tree BuildTree(struct TreeNode T[]) {Tree Root, i;scanf("%d\n", &N); // 输入二叉树的结点个数if (N) {for (i = 0; i < N; i++) {check[i] = 0;}for (i = 0; i < N; i++) {scanf("%c %c% %c\n", &T[i].Element, &cl, &cr); // 输入各结点信息if (cl != '-') { // 若结点的左结点不为空T[i].Left = cl - '0'; // 将数字字符转换为对应的数值，表示现在处于的结点编号check[T[i].Left] = 1; // 当前结点的左结点不为空，表示当前结点不是根结点，标记为1} else { // 左结点为空T[i].Left = Null;}if (cr != '-') { // 若结点的右结点不为空T[i].Left = cr - '0'; // 将数字字符转换为对应的数值，表示现在处于的结点编号check[T[i].Right] = 1;} else { // 右结点为空T[i].Right = Null;}}for (i = 0; i < N; i++) { // 遍历check数组，i代表结点编号，check[i]表示结点是否为根结点，值为0时表示跟结点if (!check[i]) {break;}}Root = i; // 找到了根结点的编号，并返回}return Root;
}
/* 功能：判断两个二叉树是否同构* 输入：Tree R1 第1棵树当前的结点编号* Tree R2 第2棵树当前的结点编号* 输出：1 同构* 0 不同构*/
int Isomorphic(Tree R1, Tree R2) {if ((R1 == Null) && (R2 == Null)) { // 两棵树均为空树，则他们同构return 1;}if (((R1 == Null) && (R2 != Null)) || ((R1 != Null) && (R2 != Null))) { // 若两棵树中有一棵树为空树，则他们不同构return 0;}if (T1[R1].Element != T2[R2].Element) { // 两棵树的根结点不相等，则他们不同构return 0;}if ((T1[R1].Left == Null) && (T2[R2].Left == Null)) { // 若两棵树的当前节点都没有左子树return Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right); // 根据两棵树的右子树判断是否同构}if ((T1[R1].Left != Null) && (T2[R2].Left != Null) && (T1[T1[R1].Left].Element == T2[T2[R2].Left].Element)) {// 若两棵树的当前节点的左结点相等且非空return (Isomorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Left) && Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right)); /* 目前遍历过的结点的位置和内容都相同，则继续判断 */} else {return (Isomorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Right) && Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Left)); /* 判断是否可能是一棵树的左子树与另一棵树的右子树同构 */}
}
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