判断三个数是否能构成三角形_【内含干货】611. 有效三角形的个数

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这是力扣加加第「9」篇原创文章

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题目地址(611. 有效三角形的个数)

https://leetcode-cn.com/problems/valid-triangle-number/

题目描述

给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。

示例 1:

输入: [2,2,3,4]输出: 3解释:有效的组合是:2,3,4 (使用第一个 2)2,3,4 (使用第二个 2)2,2,3注意:

数组长度不超过1000。数组里整数的范围为 [0, 1000]。

前置知识

排序
双指针
二分法
三角形边的关系

暴力法(超时)

思路

首先要有一个数学前提： 如果三条线段中任意两条的和都大于第三边，那么这三条线段可以组成一个三角形。即给定三个线段 a，b，c，如果满足 a + b > c and a + c > b and b + c > a，则线段 a，b，c 可以构成三角形，否则不可以。

力扣中有一些题目是需要一些数学前提的，不过这些数学前提都比较简单，一般不会超过高中数学知识，并且也不会特别复杂。一般都是小学初中知识即可。

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如果你在面试中碰到不知道的数学前提，可以寻求面试官提示试试。

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关键点解析

三角形边的关系
三层循环确定三个线段

代码

代码支持: Python

class Solution:    def is_triangle(self, a, b, c):        if a == 0 or b == 0 or c == 0: return False        if a + b > c and a + c > b and b + c > a: return True        return False    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:        n = len(nums)        ans = 0        for i in range(n - 2):            for j in range(i + 1, n - 1):                for k in range(j + 1, n):                    if self.is_triangle(nums[i], nums[j], nums[k]): ans += 1

        return ans

「复杂度分析」

时间复杂度：，其中 N 为数组长度。
空间复杂度：

优化的暴力法

思路

暴力法的时间复杂度为，其中最大为 1000。一般来说，的算法在数据量 <= 500 是可以 AC 的。1000 的数量级则需要考虑或者更好的解法。

OK，到这里了。我给大家一个干货。应该是其他博主不太会提的。原因可能是他们不知道，也可能是他们觉得太小儿科不需要说。

由于前面我根据数据规模推测到到了解法的复杂度区间是 , ，不可能是 (WHY？)。
降低时间复杂度的方法主要有： 空间换时间 和 排序换时间(我们一般都是使用基于比较的排序方法)。而排序换时间仅仅在总体复杂度大于才适用(原因不用多说了吧？)。

这里由于总体的时间复杂度是，因此我自然想到了排序换时间。当我们对 nums 进行一次排序之后，我发现：

is_triangle 函数有一些判断是无效的

    def is_triangle(self, a, b, c):        if a == 0 or b == 0 or c == 0: return False        # a + c > b 和  b + c > a 是无效的判断，因为恒成立        if a + b > c and a + c > b and b + c > a: return True        return False

因此我们的目标变为找到a + b > c即可，因此第三层循环是可以提前退出的。

for i in range(n - 2):    for j in range(i + 1, n - 1):        k = j + 1        while k and num[i] + nums[j] > nums[k]:            k += 1        ans += k - j - 1

这也仅仅是减枝而已，复杂度没有变化。通过进一步观察，发现 k 没有必要每次都从 j + 1 开始。而是从上次找到的 k 值开始就行。原因很简单，当 nums[i] + nums[j] > nums[k] 时，我们想要找到下一个满足 nums[i] + nums[j] > nums[k] 的新的 k 值，由于进行了排序，因此这个 k 肯定比之前的大(单调递增性)，因此上一个 k 值之前的数都是无效的，可以跳过。

for i in range(n - 2):    k = i + 2    for j in range(i + 1, n - 1):        while k and nums[i] + nums[j] > nums[k]:            k += 1        ans += k - j - 1

由于 K 不会后退，因此最内层循环总共最多执行 N 次，因此总的时间复杂度为。

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这个复杂度分析有点像单调栈，大家可以结合起来理解。

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关键点分析

排序

代码

class Solution:    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:        n = len(nums)        ans = 0        nums.sort()        for i in range(n - 2):            if nums[i] == 0: continue            k = i + 2            for j in range(i + 1, n - 1):                while k and nums[i] + nums[j] > nums[k]:                    k += 1                ans += k - j - 1        return ans

「复杂度分析」

时间复杂度：
空间复杂度：取决于排序算法

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