1 简介

本文主要目的是回顾和巩固维纳滤波的基础和应用。

1.1 对象

一维音频信号，带高斯随机噪声。

1.2 约定

期望信号/纯净信号序列： x(n)

噪声信号序列： v(n)

带噪信号序列： y(n)

序列长度： L

维纳滤波器阶数：M

1.3 假设

信号是平稳的：也就是说在过去的一段时间和现在的一段时间内，纯净信号和噪声的均值、方差等信息是不变的，这是利用过去信息估计现在信息的基础。

期望信号与噪声是不相关的：期望信号就是理想中的纯净信号。

信号都是零均值的：这有利于计算方差。

2 基础知识

2.1 自相关向量ryy的元素是如何计算的？

ryy的元素ryy(i)是向量y的自相关函数的第i个值。ryy(i)=sum(y[i]*y[i])/L；当i=0时，ryy(0)就是y的方差。利用matlab库函数的实现方法：

ryy_ =xcorr(y,M,'biased'); %这句话计算出来的互相关函数值是2L-1个，关于L对称，M是阶数，也即是相关向量的长度

ryy =ryy_ (L+1:end); % 这里从M+1开始，是因为matlab起始序列号是1，而不是0

2.2 自相关矩阵Ryy是怎么得到的？

得到了自相关向量Ryy就可以构建出来了，利用toeplitz函数即可：

Ryy=toeplitz(ryy);

2.3 互相关向量怎么得到？

自相关都得到了，互相关就是在计算相关函数的时候，第二个变量换成其他变量。

ryx =xcorr(y,x,M,'biased');

3 维纳滤波

核心思想是滤波后的信号与纯净信号的均方误差最小：

$\mathit{J}=E[e^2(n)] =E[(\widehat{y}(n)-\mathbf{h}^T\mathbf{y}]=\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y_y\mathbf{h}-2\mathbf{r}_y_x^T\mathbf{h}+\sigma_x ^2$

$\mathbf{h}_w=arg\underset{\mathbf{h}}{min}J(\mathbf{h})=\mathbf{R}_y_y^-^1\mathbf{r}_y_x$

这就是维纳意义下均方误差最小的FIR滤波器。

x是未知的，因此上述滤波器是不可得到的。

而噪声的自相关向量我们可以预估。

利用假设，ryx=ryy-rvv。

所以，估计的时刻k的输出就用hw和y来计算得到：

$\widehat{y}(k)=\mathbf{h}^T\mathbf{y}(k)$

循环使用即可得到所有的输出估计信号。

这一步可以利用matlab的filter函数完成：

filter(h,1,y)

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