《编程之美》3.6判断链表是否相交之扩展：链表找环方法证明

先看看原题：《编程之美》3.6编程判断两个链表是否相交，原题假设两个链表不带环。

注：位于(*)符号之间的文字出自于：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6447013，作者v_JULY_v。

用指针p1、p2分别指向两个链表头，不断后移；最后到达各自表尾时，若p1==p2，那么两个链表必相交

解法

扩展问题1：如果链表可能有环，上面的方法怎么调整？

分情况讨论：
如果两个链表都没有环，那么同原算法；
如果两个链表一个有环，一个没环，那么必然不相交。
(*)如果两个链表都有环，判断一个链表环上的任一点是否在另一个链表上，如果是，则必相交，反之不相交。这时，需要找到另一个链表完整的环都包括了哪些结点，才能进行判断。(*)
可以看出，解答这个问题要解决判断是否有环。

扩展问题1解法

扩展问题2：如果必须要求出两个链表相交的第一个节点呢？

（*）    思路：如果两个尾结点是一样的，说明它们有重合；否则两个链表没有公共的结点。在上面的思路中，顺序遍历两个链表到尾结点的时候，我们不能保证在两个链表上同时到达尾结点。这是因为两个链表不一定长度一样。但如果假设一个链表比另一个长L个结点，我们先在长的链表上遍历L个结点，之后再同步遍历，这个时候我们就能保证同时到达最后一个结点了。由于两个链表从第一个公共结点开始到链表的尾结点，这一部分是重合的。因此，它们肯定也是同时到达第一公共结点的。于是在遍历中，第一个相同的结点就是第一个公共的结点。在这个思路中，我们先要分别遍历两个链表得到它们的长度，并求出两个长度之差。在长的链表上先遍历若干次之后，再同步遍历两个链表，直到找到相同的结点，或者一直到链表结束。PS：没有处理一种特殊情况：就是一个是循环链表，而另一个也是，只是头结点所在位置不一样。 （*）对于特殊情况，相交的第一个结点可以是第一个链表的表头，也可以是第二个链表的表头。因为从表头开始二者就开始相交了。对于这种情况，如果判断出二者都是循环链表，就可以直接返回其中之一的头指针。

扩展问题2解法

相关问题：求链表倒数第k个结点

(*)设置两个指针p1,p2，首先p1和p2都指向head，然后p2向前走k步，这样p1和p2之间就间隔k个节点，最后p1和p2同时向前移动，直至p2走到链表末尾。(*)

相关问题解法

现在来看，遗留问题是：1.如何判断链表有环？2.如何找到链表环的入口？方法是有的，而且这个算法在3.11节程序改错的扩展问题有所提示。简单来说就是：

对于问题1，指针p1、p2指向表头，每次循环p1指向后继，p2指向后继的后继；循环的结束条件是，p2后继为空（无环）或p1==p2（有环）。

这个方法网上没有看到比较令我满意的解释，而《编程原本》（Elements of Programming）在第2章“变换及其轨道”中虽然有简单的说明，可当时看的时候也不是特别理解（就算现在理解了，这本书上讲得比较抽象，上面的说明放在这里只能让读者越看越糊涂），可能是悟性不够吧。一是不满足于用举例说明，二是觉得，如果是连续地移动，即像物体运动时位移和时间是连续的而不是这样离散的，当然会相遇；而二者都是离散的，如果每次都发生p2刚好越过p1的情况呢？下面用易于理解的方式证明，这个解法中如果有环，p1和p2必同时在停留在某个节点。

如左图，在任意时刻，p1和p2都在环上。由于p1每次向前1步，p2每次向前两步，用相对运动的观点来看，把p1看作静止，那么p2每次相对p1向前1步，二者在顺时针方向上的距离每经过一个时刻就减少1，直到变为0，也即二者恰好相遇。这样就证明了在离散情况下，对于有环链表，二者也是必然在某一时刻相遇在某个节点上的。

沿着这个思路，继续求解问题2寻找环的入口问题。记环的总长度为R（即，环上有R个节点），并将上述的初始时刻选为p1第一次到达环入口的时刻，相遇时p1在环上位置x%R，p2在环位置[2*(L+x)-L]%R，

在相遇点，有(2L+2x-L)%R == x%R，即(L+2x)%R==x%R。根据同余的性质，（L+x）%R==0。

此时把p1放回表头，p2的速度降为1。当p1走了L到达环的入口时，p2在环上的位置为(x+L)%R==0，这意味着p2回到了入口，且与p1相遇。并且由于之前p1不在环上，这是二者的在这一步操作后的第一次相遇，并且都在入口，这便找出了入口的位置。

重述一遍寻找环存在和环入口的方法：

用两个指针p1、p2指向表头，每次循环时p1指向它的后继，p2指向它后继的后继。若p2的后继为NULL，表明链表没有环；否则有环且p1==p2时循环可以终止。此时为了寻找环的入口，将p1重新指向表头且仍然每次循环都指向后继，p2每次也指向后继。当p1与p2再次相等时，相等点就是环的入口。

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