POJ 1065 Wooden Sticks（LIS,最少链划分）

题意：求二维偏序的最少链划分。

用到Dilworth定理:最少链划分=最长反链。（对偶也成立，个人认为区别只是一个维度上的两个方向，写了个简单的证明

相关概念:偏序集，链，反链等等概念可以参考这里:http://www.cnblogs.com/fstang/archive/2013/03/31/2991220.html

Dilworth定理的证明（英文的）：http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf

证明

简要来说，设链的最小划分数为p，最长反链长度为l，证明分两步：

(1).p≥l。因为反链上任意两点都不可能在同一个链中，抽屉原理可知p≥l。

(2).p≤l。反复选择反链的极小元点集X_i从全集S中删除直到S为空，

每次阶段的选择的X_i则构成一个链划分（这个可以反证，如果X_i存在a和b无法比较，那么反链中是可比的，则a和b不可能同时是反链的极小元）

最后一次删除将会对应最长的反链。所以链划分了l次，而p是最小链划分，所以有l≥p。

至于实现上，我采用的是O(nlogn)的逆向求LIS的方法来得到最长反链的。

（似乎根据证明第二步可以得出贪心做法，不过因为要排序时间复杂度还是O(nlogn)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
//#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 5e3+5;struct Stick
{int l, w;bool operator <(const Stick &th) const{return l < th.l || (l == th.l && w < th.w);}void IN(){ scanf("%d%d",&l,&w); }
}stick[N];int g[N];//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);
#endifint T; cin>>T;while(T--){int n; scanf("%d",&n);for(int i = 0; i < n; i++){stick[i].IN();}sort(stick,stick+n);memset(g,0x3f,sizeof(int)*n);int ans = 0;for(int i = n-1; i >= 0; i--){int k = lower_bound(g+1,g+n-i,stick[i].w)-g;ans = max(ans,k);g[k] = stick[i].w;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/jerryRey/p/4885732.html

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